Document de cours de référence

66 5. Applications des lois du mouvement
d) Montrez que l’altitude maximale atteinte par le projectile (z max ), en fonction des paramètres v 0 , g et γ,
est
z max = v 0
γ − g [
γ 2 ln 1 + γv ]
0
g
e) Exprimez le résultat de la partie précédente (z max ) dans les limites (i) de très faible résistance (γ → 0)
et (ii) de très forte résistance (γ → ∞). Quelles modifications mineures devrait-on apporter à l’équation
différentielle trouvée en (a) pour retrouver ces résultats plus simplement, sans passer par la solution trouvée
en (b)–(d)?
Problème 5.9
Un ressort de constante élastique k porte un plateau, de sorte
que la masse de l’ensemble est m et que la hauteur d’équilibre
du plateau vide est z = 0 (ceci inclut l’effet du poids du plateau
et du ressort). On dépose ensuite sur le plateau un objet de
masse M de poids Mg et on compresse le ressort jusqu’à ce que
le plateau soit à une hauteur z 0 < 0. Au temps t = 0, on relâche
le tout et l’ensemble plateau-objet accélère vers le haut. Dans
ce problème, on néglige toute source de frottement.
a) Quelle est la hauteur d’équilibre a du plateau avec la masse
M, c’est-à-dire la valeur de z 0 telle qu’aucun mouvement ne suit
la relâche du plateau?
z = 0
m
m
M
z = z 0
b) Soit z(t) et z ′ (t) les coordonnées verticales du plateau et de la base de l’objet, respectivement. Tant que
l’objet repose sur le plateau, on a z = z ′ , mais il est possible que l’objet perde contact avec le plateau lors
de la montée du plateau, si |z 0 | est suffisamment grand. Écrivez les équations différentielles du mouvement
séparément pour le plateau et l’objet (c’est-à-dire pour ¨z et ¨z ′ respectivement), en tenant compte notamment
de la force normale N agissant entre le plateau et l’objet.
c) En supposant que l’objet reste en contact avec le plateau (donc que N > 0), obtenez la valeur explicite de
z(t) = z ′ (t), en fonction de M, m, g, k et de z 0 .
d) Trouvez la valeur minimum de |z 0 | au-delà de laquelle l’objet perdra contact avec le plateau à un moment
donné. Trouvez aussi la coordonnée z 1 à laquelle cette perte de contact se produira. Indice : la perte de contact
coïncide avec l’annulation de la force normale N.
e) La perte de contact se produisant à un temps t 1 , auquel l’objet a une coordonnée z 1 et une vitesse ż 1 ,
donnez une expression mathématique pour la position z(t) du plateau et la position z ′ (t) de l’objet après la
perte de contact. Exprimez votre résultat en fonction de t, t 1 , z 1 , ż 1 , g, m et k.
f) Faites un schéma des fonctions z(t) et de z ′ (t) dans le cas où il y a perte de contact, en indiquant bien z 0 ,
a, t 1 et z 1 et en indiquant ce qui se produit pour t > t 1 . Un graphique précis n’est pas nécessaire, en autant
que le schéma soit qualitativement correct.
Problème 5.10
Une particule chargée (charge q) subit l’effet d’un champ magnétique uniforme B = Bẑ, d’un champ électrique
uniforme E = Eŷ et d’une force de résistance F res. de la part du milieu dans lequel elle se déplace. Cette
force de résistance est proportionnelle à la vitesse et opposée à celle-ci : F res. = −γv, où γ est une constante.
On veut démontrer ici que la particule chargée suit une trajectoire initialement compliquée, mais qu’elle finit
par se déplacer à une vitesse constante v ∞ (c’est-à-dire la limite de la vitesse quand t → ∞). Vous pouvez
supposer que le mouvement est contenu dans le plan xy.
a) Démontrez qu’il est possible que la particule se déplace à vitesse constante en tout temps. Autrement dit,
démontrez que v(t) = v ∞ est une solution de F = ma dans ce cas-ci et calculez les composantes de v ∞ en
fonction des paramètres du problème (E, B, γ et q). Votre résultat est-il raisonnable quand (i) B = 0 et
quand (ii) γ = 0? (C’est-à-dire : est-il intuitivement clair?)