Document de cours de référence

82 6. Énergie et Travail
frottement dynamique, et (ii) Les forces de contrainte, qui sont toujours perpendiculaires à la vitesse
de l’objet (F · v = 0). Comme les forces dissipatives sont grosso modo opposées à la vitesse, leur
travail est négatif et elles ne peuvent que diminuer l’énergie mécanique de la particule. Par contre,
les forces de contrainte ne peuvent exercer aucun travail, car elles sont toujours perpendiculaires
au déplacement :
F · dr = F · vdt = 0 (6.62)
La force magnétique F mag. = qv ∧ B, quoiqu’elle ne soit pas considérée habituellement comme une
force de contrainte, entre dans cette catégorie. La force de frottement statique entre aussi dans
cette catégorie, car elle s’applique en l’absence de déplacement (v = 0). En résumé, les forces
dissipatives vont diminuer l’énergie totale E d’un objet, alors que les forces de contrainte (incluant
la force magnétique) vont la conserver (même si elles ne sont pas appelées conservatives au sens
strict de l’éq. (6.11)).
Travail et chemin parcouru
Le travail d’une force conservative est indépendant de la trajectoire C et ne dépend que de la valeur
de la fonction U aux points de départ et d’arrivée. C’est ce qui ressort du calcul (6.60). L’inverse
est aussi vrai : si le travail d’une force F(r) qui ne dépend que de la position est indépendant du
chemin C suivi pour le calculer, alors cette force est conservative au sens de l’éq. (6.11) : elle est le
gradient d’une fonction. La preuve en est simple : il suffit de trouver une fonction U(r) qui puisse
servir de potentiel. Or, une telle fonction est le travail effectué par le force F du point r jusqu’à
un point de référence fixe O, qui peut être l’origine, l’infini, ou tout autre point convenable :
U(r) =
∫ O
r
F · dr (6.63)
Par hypothèse, cette quantité ne dépend pas du chemin emprunté pour le calculer et le potentiel
U(r) est une fonction bien définie de la position. D’autre part, son gradient est bien relié à la
force par la relation (6.11). Ceci se démontre en considérant le travail effectué le long d’un segment
infinitésimal dr originaire du point r, comme la différence du travail de O à r + dr et du travail de
O à r:
δW = F(r) · dr
= U(r) − U(r + dr)
= −∇U(r) · dr
(6.64)
Comme cette relation est vraie pour tout vecteur dr infinitésimal, on a nécessairement l’égalité
(6.11). En résumé, le fait que le travail soit indépendant du chemin et que la force soit le gradient
d’une fonction sont des propriétés équivalentes, qui caractérisent une force conservative.
6.7 Énergie de plusieurs objets en interaction
Jusqu’ici nous n’avons discuté que de l’énergie potentielle d’une particule en mouvement dans un
champ de force créé par d’autres particules que nous considérions fixes. Il s’agit d’une approximation
valable quand ces autres particules sont très massives en comparaison de la particule étudiée. La
loi de conservation de l’énergie peut donc nous sembler fragile, car lorsqu’une particule se déplace
dans le champ de force d’autres particules, ces dernières ne sont généralement pas fixes, mais
se déplacent, notamment en raison de leurs influences mutuelles et de l’influence de la particule
étudiée. Le champ de force F(r) étudié à la section 6 dépend donc du temps, ce qui invalide la
relation (6.14) et la conservation de l’énergie.