Document de cours de référence

144 9. Moment cinétique et rotation des corps
rapport au centre de masse (l’énergie cinétique de rotation 1 2 Iω2 = 1 2 mk2 ω 2 ). L’énergie cinétique
totale est donc
)
K = 1 2 mv2 + 1 2 mk2 ω 2 = 1 2
(1 + k2
R 2 mv 2 (9.53)
L’énergie totale de l’objet (cinétique et potentielle) est
E = 1 2 m (
1 + k2
R 2 )
v 2 + mgh (9.54)
où h est la hauteur de l’objet par rapport à l’origine (donc négative en pratique). Soit x la coordonnée
du point de contact de l’objet avec le plan, telle que mesurée le long du plan incliné. La
vitesse v est bien sûr définie comme v = ẋ. Si θ est l’angle d’inclinaison du plan, on a h = −x sin θ.
On peut donc exprimer l’énergie comme
( )
E = 1 2 m 1 + k2
R 2 ẋ 2 − mgx sin θ (9.55)
Comme l’objet roule sans glisser, la force de frottement exercée par le plan sur l’objet n’effectue
aucun travail et l’énergie est constante; donc sa dérivée par rapport au temps est nulle :
0 = dE ( )
dt = m 1 + k2
R 2 ẋẍ − mgẋ sin θ (9.56)
Cette relation nous permet d’isoler l’accélération linéaire de l’objet :
ẍ =
g sin θ
1 + k 2 /R 2 (9.57)
Le même calcul effectué sur un objet qui glisse sans friction sur un plan incliné donnerait ẍ = g sin θ.
Donc, à cause de la contrainte de roulement, le moment d’inertie de l’objet ajoute à son inertie
de translation et ralentit la descente de l’objet. Ce facteur de ralentissement est indépendant de la
taille de l’objet, et ne dépend que de sa forme. On peut se servir de l’expérience du plan incliné
pour mesurer la valeur de g, mais il faut alors tenir compte de ce facteur, sinon l’analyse donne
des résultats complètement erronés. Pour un cylindre creux, un cylindre plein et une sphère, les
rapports k 2 /R 2 sont respectivement 1, 1 2 et 2 5
. Donc si les trois objets sont relâchés en même temps
de la même hauteur sur le plan, la sphère arrivera en bas en premier, suivie du cylindre plein et
ensuite du cylindre creux. L’exercice 9.7 examine la même situation, mais directement à l’aide du
couple, sans faire appel à l’énergie.
Relation entre couple et énergie potentielle
Le couple agissant sur un objet peut souvent être calculé à partir de l’expression de l’énergie
potentielle de cet objet, sans passer par les forces. Considérons un objet pouvant effectuer une
rotation autour de l’axe des z et supposons que l’énergie potentielle U de cet objet dépende de son
orientation, c’est-à-dire de l’angle azimutal ϕ de l’objet par rapport à une direction de référence.
Nous allons démontrer que
N z = − ∂U
(9.58)
∂ϕ
Pour ce faire, rappelons que la variation de l’énergie potentielle U qui accompagne une variation
des coordonnées de toutes les particules de l’objet est
dU = − ∑ i
F i · dr i (9.59)