Document de cours de référence

10 1. Rappels sur les vecteurs
On dit donc que la forme (1.8) du produit scalaire est un invariant par rapport aux changements de base
orthonormées, c’est-à-dire par rapport aux rotations des axes.
1.6 Bases locales
Lorsqu’on utilise un système de coordonnées curvilignes (ou dans les situations où de telles coordonnées
sont utiles) on définit souvent une base qui varie d’un point à un autre. En effet, la plupart
des vecteurs utilisés en physique (ex. la vitesse, l’accélération, la force, le champ électrique, etc.)
sont définis par rapport à un point donné de l’espace et non par rapport à l’origine (l’exception notable
est le vecteur position). Il est donc possible de décrire ces vecteurs dans une base qui dépend
du point considéré. Plus précisément, on parle ici d’une base orthonormée {ê 1 (r), ê 2 (r), ê 3 (r)} dont
chaque vecteur est une fonction de la position et non une constante comme dans un repère cartésien.
y
ˆϕ
ρ sin ϕ
ρ
ρˆ
ẑ
ϕ
ρ cosϕ
x
Figure 1.2. Repère local en coordonnées cylindriques.
Coordonnées cylindriques
Le système de coordonnées cylindriques est défini de la manière suivante par rapport au système
cartésien :
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
z = z
(1.39)
Les coordonnées polaires planes ne sont que la restriction au plan xy des coordonnées cylindriques.
La signification géométrique des coordonnées ρ et ϕ est indiquée sur la figure (1.2). Notons que
l’angle ϕ est positif tel qu’indiqué, mais n’est défini que modulo 2π. 5 La variation de l’angle ϕ est
positive si le segment OP décrit un mouvement antihoraire (vu de haut) et négative dans le cas
contraire.
En coordonnées cylindriques, on associe à chaque point (ρ, ϕ, z) de l’espace trois vecteurs orthonormaux
ˆρ, ˆϕ et ẑ qui sont respectivement perpendiculaires aux surfaces à ρ constant, ϕ constant et
z constant. Ces vecteurs unité pointent dans la direction où la coordonnée respective augmente.
La relation entre ces vecteurs unité et la base cartésienne est la suivante :
ˆρ =
ˆx cos ϕ + ŷ sin ϕ
ˆϕ = −ˆx sin ϕ + ŷ cos ϕ
5 À moins d’avis contraire, tous les angles sont indiqués en radians.
(1.40)