Document de cours de référence

7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement 99
Simplifions les masses et les facteurs 1 2
partout et mettont la première équation au carré :
v 2 1 = (v ′ 1 + v ′ 2) 2 et v 2 1 = (v ′ 1) 2 + (v ′ 2) 2 (7.25)
En développant le carré de l’équation de gauche et en comparant avec celle de droite, on trouve
que
v ′ 1 · v ′ 2 = 0 (7.26)
ce qui démontre bien que les deux vitesses sont perpendiculaires (ce qui comprend la possibilité
que l’une des deux vitesses soit nulle).
D’autre part, on montre facilement que
v ′ 2 = v 1 cos θ 2 et v ′ 1 = v 1 cos θ 1 (7.27)
sachant bien sûr que cos θ 2 = sin θ 1 puisque que θ 2 = 1 2 π − θ 1 . La démonstration est la suivante :
comme v 1 ′ · v′ 2 = 0, alors v 1 · v 2 ′ = (v 1 ′ + v 2) ′ · v 2 ′ = (v 2) ′ 2 (7.28)
D’autre part, ce produit scalaire vaut v 1 v 2 ′ cos θ 2 , et donc v′ 2 = v 1 cos θ 2 , tel qu’annoncé. La deuxième
relation se démontre pareillement :
v 1 · v ′ 1 = (v′ 1 + v′ 2 ) · v′ 1 = (v′ 1 )2 (7.29)
ce qui vaut aussi v 1 v ′ 1 cos θ 1 , ce qui permet d’écrire que v 1 cos θ 1 = v′ 1 .
v' 2
1
v' 1
θ 1
v 1
C
θ 2
R
R
2
b
Figure 7.5. Collision de deux sphères dures. La force appliquée sur la sphère no 2 est dans la direction
de la vitesse v ′ 2 , et le paramètre d’impact b est relié simplement à l’angle θ 2 : sin θ 2 = b/2R.
Étudions enfin un exemple précis de collision où la relation entre le paramètre d’impact et l’angle
de diffusion peut être établie. Considérons deux sphères dures de mêmes masses, telles des boules
de billard, qui entrent en collision. On supposera que la force qui agit entre les deux boules est
dirigée le long de l’axe qui relie les centres des deux boules. Ceci revient à négliger tout effet de
frottement entre les surfaces des boules, frottement qui pourrait communiquer à la boule-cible un
mouvement de rotation sur elle-même. On indique sur la figure 7.5 la direction des vitesses avant
et après la collision, les angles θ 1 et θ 2 , ainsi que le paramètre d’impact b. La relation entre ce