Document de cours de référence

74 6. Énergie et Travail
dθ
R
d
θ
r
r
Figure 6.1. Coquille sphérique de densité superficielle σ et de rayon R produisant un potentiel gravitationnel
au point r, à une distance r du centre. Tous les points situés sur l’anneau indiqué sont à une
distance d du point P et sous-tendent un angle θ avec le centre et le vecteur r.
plus simple, mais revient au même. En fait, nous le démontrerons pour une coquille sphérique très
mince de rayon R et de densité superficielle σ. Référons-nous pour cela à la figure 6.1.
Divisons la coquille sphérique en anneaux, de telle façon que chaque anneau soit situé à une distance
constante d du point r. Considérons en particulier un anneau situé à une coordonnée angulaire θ
et dont la largeur sous-tend un angle dθ. La masse dm de cet anneau est égale à sa superficie fois
la densité σ:
dM = 2πR sin θ × σ × Rdθ (6.28)
En fonction de θ, la distance d s’obtient par la loi des cosinus :
La contribution de cet anneau au potentiel gravitationnel est donc
d 2 = R 2 + r 2 − 2Rr cos θ (6.29)
2πR 2 σ sin θ dθ
dV (θ) = −G√ R2 + r 2 − 2Rr cos θ
(6.30)
Le potentiel total au point r est obtenu en intégrant cette expression de θ = 0 à θ = π. Définissons
la variable z = cos θ. Alors dz = − sin θdθ et on obtient plutôt
∫ 1
V (r) = −2πGR 2 1
σ dz √
−1 R2 + r 2 − 2Rrz
= −2πGR 2 σ × − 1 [√ ] 1
R2 + r
rR
2 − 2Rrz
−1
= 2πσG R {√
(R − r)2 − √ }
(6.31)
(R + r)
r
2
= 2πσG R r (|R − r| − |R + r|)
Si R > r (à l’intérieur de la coquille) l’expression entre parenthèses devient −2r, alors que si R < r
(à l’extérieur), elle devient −2R. Donc
⎧
⎪⎨ −4πRσG = −G M (r < R)
R
coquille : V (r) =
⎪⎩
−G 4πR2 σ
= −G M (6.32)
(r > R)
r r