Document de cours de référence

146 9. Moment cinétique et rotation des corps
pivot
θ
l
CdM
Figure 9.5. Pendule physique. Le centre de masse (CdM) est à une distance l du pivot. L’axe de
rotation sort de la page.
La solution générale de cette équation est
θ(t) = A cos(Ωt + φ)
Ω ≡
√
Mgl
I
(9.69)
Le mouvement du pendule est alors harmonique, comme dans le cas du pendule simple, mais
l’expression de sa fréquence en fonction de la masse du pendule est différente. En fonction du
rayon de gyration du pendule et de la position du centre de masse, le moment d’inertie par rapport
au pivot est I = M(k 2 + l 2 ), ce qui nous permet d’écrire la fréquence d’oscillation comme
Ω =
√
gl
k 2 + l 2 (9.70)
Plus le rayon de gyration k est petit par rapport à l, plus le pendule physique ressemble à un
pendule simple, dont la fréquence d’oscillation est Ω = √ g/l.
9.8 Mouvement de précession
À moins qu’un objet rigide ne soit contraint de tourner sur un axe fixe ou qu’aucun couple ne
s’exerce sur lui, son moment cinétique J n’est en général pas constant en direction. Le cas le plus
simple d’une variation dans l’espace du moment cinétique est celui d’un mouvement de précession,
causé par un couple perpendiculaire au moment cinétique.
L’exemple canonique est celui du gyroscope monté sur un pivot fixe (P),
tel qu’illustré. Soit m la masse de cet objet, I son moment d’inertie par
rapport à son axe de symétrie (A) et h la distance entre le centre de
masse et le pivot. Le gyroscope est en rotation sur son axe à une vitesse
angulaire ω. Dans cette configuration, l’objet subit un couple. En effet,
plaçons l’origine au pivot P. La seule force contribuant au couple est alors
le poids mg de l’objet, qui s’applique au centre de masse, et la grandeur
du couple produit est mgh sin ψ. Ce couple est perpendiculaire à la fois à
la verticale et à l’axe A : tel qu’illustré, il sort à peu près de la page.
eˆ
A
ω
ψ
Ω
zˆ
P
Le moment cinétique de l’objet est essentiellement dirigé le long de l’axe A. En fait, on doit faire ici
l’approximation que la rotation du gyroscope sur son axe est rapide en comparaison du mouvement