Document de cours de référence

186 11. Relativité restreinte
Cette situation produirait un patron d’interférence différent. Le changement dans le patron
d’interférence serait caractérisé par la ‘différence des différences de phase’ :
{
}
∆φ = 2πf(∆T − ∆T ′ c
) = 4πf(OC + OB)
c 2 − V 2 − 1
√ (11.9)
c2 − V 2
En supposant que V ≪ c, on peut effectuer un développement de Taylor au premier ordre en
(V/c) 2 et on obtient
∆φ = (OC + OB) 2πf V 2
c c 2 (11.10)
Cette ‘différence des différences’ devrait se traduire par un déplacement des franges d’interférence
lorsque l’appareil est tourné de 90 ◦ . Or, un tel déplacement n’est pas observé. Bien sûr, l’effet
escompté est très petit et l’expérience est très délicate. En pratique, il faut utiliser les distances les
plus grandes possibles (on peut les augmenter par des miroirs multiples) et disposer d’une table
d’optique libre de toutes vibrations (celle de Michelson et Morley flottait sur du mercure). Il faut
également penser à refaire l’expérience six mois plus tard, au cas ou, par un hasard incroyable, la
Terre aurait été au repos par rapport à l’Éther au moment de la première expérience!
Après bien des précautions et des vérifications, le résultat de l’expérience est négatif : aucun
mouvement de la Terre par rapport à l’Éther ne put être détecté.
11.4 Transformation de Lorentz
Étant donné l’inexistence de l’Éther ou d’un référentiel absolu, il faut maintenant modifier la
transformation de Galilée (11.1) pour tenir compte de l’invariance de la vitesse de la lumière.
Le passage d’un référentiel à un autre se fait par un changement de coordonnées impliquant les
trois coordonnées spatiales et le temps. Considérons deux référentiels S et S ′ se déplaçant l’un
par rapport à l’autre à une vitesse V. Dénotons par (x, y, z, t) les coordonnées et le temps dans
le référentiel S, et (x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) les quantités correspondantes dans le référentiel S ′ . On suppose,
sans perte de généralité, que les axes des deux référentiels sont dans les mêmes directions, que la
vitesse relative des deux référentiels est le long de l’axe des x (donc V = V ˆx) et que les origines
des deux référentiels coïncident au temps t = 0 (et t ′ = 0). On cherche une relation entre (x, y, z, t)
et (x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) compatible avec le principe de relativité, i.e., telle que la vitesse de propagation
de la lumière soit la même dans les deux référentiels. Cette relation doit respecter les conditions
suivantes :
1. Elle doit être linéaire, sinon un corps au repos dans S ne serait pas en mouvement rectiligne
uniforme dans S ′ . La relation entre (x, y, z, t) et (x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) peut donc s’écrire à l’aide d’une
matrice :
⎛ ⎞ ⎛
x x ′ ⎞
⎜ y ⎟ ⎜ y
⎝ ⎠ = M
′ ⎟
⎝
z z ′ ⎠ (11.11)
t t ′
où M est une matrice 4 × 4. Les composantes de cette matrice peuvent dépendre de la vitesse
relative V .
2. Les coordonnées (y, z) perpendiculaires à la vitesse relative ne devraient pas être affectées
par le changement de référentiel. Autrement dit, y ′ = y et z ′ = z. En effet, si r ⊥ dénote
les coordonnées perpendiculaires à V, la seule transformation acceptable de ces coordonnées
serait r ′ ⊥ = K(V )r ⊥ , où K(V ) est un facteur numérique qui dépend de V , tel que K(0) = 1. Par