Document de cours de référence

9. Moment cinétique et rotation des corps 157
en fonction de ϕ, de ˙ϕ et des paramètres du problème.
c) En posant que l’énergie totale est constante, déduisez-en, par différentiation par rapport au temps, une
équation différentielle pour l’angle ϕ, ainsi que la fréquence Ω des petites oscillations par rapport à la position
d’équilibre ϕ = 0.
Problème 9.18
Une roue de rayon R, de masse m et de moment d’inertie
I = mk 2 (par rapport à son axe) est maintenue en rotation à
ω0
ω
une vitesse angulaire ω 0 , tout juste au-dessus du sol. À t = 0,
on la laisse tomber librement en contact avec le sol. Alors elle
v
glisse tout en accélérant vers la droite : le sol exerce sur elle
F
une force de frottement F constante qui l’accélère, en même
temps que sa vitesse angulaire diminue. Après un temps T , elle
a suffisamment accéléré, et sa vitesse angulaire a suffisamment diminué, pour que la contrainte de roulement
soit satisfaite et elle roule désormais sans glisser. Aucune force de frottement ne s’exerce désormais et sa
vitesse angulaire ω demeure constante.
a) Calculez la vitesse v(t) et la vitesse angulaire ω(t) de la roue, en fonction du temps, pendant la période
d’accélération. Déduisez-en une valeur pour le temps T défini dans l’énoncé.
b) Calculez le rapport K/K 0 et exprimez-le en fonction de α = R 2 /k 2 seulement.
Problème 9.19
10 Un disque de rayon b, d’épaisseur h et de masse m est lié à
un essieu horizontal. Cet essieu est lui-même mobile mais lié à un
pivot vertical; il tourne à une fréquence Ω, alors que le disque qui
lui est attaché roule sans glisser sur le sol, en décrivant un cercle
de rayon R (on peut supposer que h ≪ R, voir figure). Le tout est
à la base d’une ancienne technologie : la meule du moulin à farine.
L’idée ici est que le mouvement de rotation de la meule autour de
l’axe vertical cause un changement dans son moment cinétique et
que le couple nécessaire à ce changement est fourni par la force de
contact avec le sol, qui est alors plus grande que le simple poids de
la meule. Ceci peut augmenter l’efficacité de la meule à moudre le
grain.
Donnez une expression pour la force normale F exercée par le sol sur la meule, en tenant compte du poids
mg de la meule. Pour une meule de 1 m de rayon, quelle doit être la période de rotation du pivot pour que
la force normale soit le double du poids de la meule?
Indice : Écrivez une expression vectorielle pour le moment cinétique J de la meule en fonction du temps, en
plaçant l’origine sur le pivot, là où l’essieu le rejoint. Déduisez-en le couple nécessaire et identifiez les forces
qui sont à l’origine de ce couple. La contrainte de roulement permet de relier la vitesse angulaire ω de rotation
du disque sur lui-même à la fréquence de rotation Ω du pivot.
pivot
Ω
essieu
R
b
ω
Problème 9.20
Lorsqu’un disque (par exemple une pièce
de monnaie) roule sans glisser sur un plan,
l’inclinaison ψ de ce disque avec la verticale
cause un couple qui pousse ce disque
à changer de direction. Si la vitesse v du
disque et l’angle ψ étaient constants, le
disque décrirait une trajectoire circulaire
sur le plan. Montrez que l’angle ψ est relié
v
b
ψ
R