Document de cours de référence

6 1. Rappels sur les vecteurs
L’interprétation géométrique du produit triple est qu’il représente le volume orienté du parallélépipède
dont les trois arêtes sont les vecteurs A, B et C. Le volume orienté est identique
au volume géométrique, sauf qu’il possède un signe (+ ou −) selon l’ordre des trois vecteurs
qui le délimitent. Dans le cas illustré, le volume orienté est positif, mais il serait négatif si deux
des vecteurs en cause étaient échangés. Cette interprétation géométrique découle immédiatement
de celle du produit vectoriel et du produit scalaire : le volume est ici donné par l’aire du parallélogramme
formé par deux des trois vecteurs, fois la hauteur h du parallélépidède, qui est égale
à la longueur du troisième vecteur fois le cosinus de l’angle entre ce vecteur et l’axe perpendiculaire
au deux autres. Ainsi, le volume géométrique du parallélépidède est
V = |A ∧ B|h = |A ∧ B||C|| cos θ| = |C · (A ∧ B)| = |A · (B ∧ C)|
1.4 Vecteur position
Dans l’espace géométrique à trois dimensions, le vecteur fondamental est le vecteur position d’un
point P , défini par le segment orienté qui part de l’origine et aboutit au point P . Nous utiliserons
la notation r pour désigner le vecteur-position d’un point dans l’espace et, par abus de langage,
nous désignerons souvent un point par son vecteur position. En fonction de la base cartésienne, le
vecteur position d’un point dont les coordonnées cartésiennes sont (x, y, z) est
r = xˆx + yŷ + zẑ (1.17)
Le vecteur position d’un point dépend évidemment du choix de l’origine dans l’espace. Considérons
deux origines différentes, notées O et O ′ , que nous appelerons respectivement l’ancienne et la
nouvelle origine. Si la position de la nouvelle origine O ′ est donnée par le vecteur r 0 en fonction de
l’ancienne origine, la relation entre l’ancien vecteur position r et le nouveau r ′ est la suivante :
r
P
r′
r
0
O′
r = r ′ + r 0 (1.18)
O
Étant donnés deux points P et P ′ dont les vecteurs positions sont r et r ′ , le vecteur qui part du
point P pour aboutir au point P ′ est la différence r ′ − r. La distance entre les points P et P ′ est
alors la norme du vecteur r ′ − r :
|r − r ′ | = √ (r − r ′ ) 2
= √ (x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 (1.19)
Rappelons que les notions de longueur et de distance sont un caractère fondamental de l’espace
euclidien, mais ne font pas partie de la définition d’un espace vectoriel en général. On dit que R 3
possède une structure d’espace normé parce qu’il possède un produit scalaire ayant les propriétés
énumérées ci-haut.