Document de cours de référence

142 9. Moment cinétique et rotation des corps
de la i e particule de l’objet par rapport à l’axe qui passe par le centre de masse. En fait, tous ces
vecteurs sont projetés sur le plan xy (leur composante en z est éliminée), de sorte que |R cm | = d.
On a bien sûr la relation ρ i = R cm + ρ ′ i et le moment d’inertie I est
I = ∑ i
m i ρ 2 i
= ∑ i
m i (R cm + ρ ′ i )2
= ∑ m i (R 2 cm + 2R cm · ρ ′ i + (ρ ′ i) 2 )
i
= Md 2 + 2R · ∑
m i ρ ′ i + I 0
i
(9.43)
Dans la dernière équation, la somme n’est autre que la projection sur le plan z = 0 de la position
du centre de masse et ce, dans le repère où le centre de masse est à l’origine. Cette somme est donc
nulle et le résultat recherché s’ensuit.
Comme exemple d’application du théorème de l’axe parallèle, calculons le moment d’inertie d’une
tige de longueur L par rapport à un axe perpendiculaire à la tige et passant par l’une de ses
extrémités. On trouve alors
I = M(L/2) 2 + 1
12 ML2 = 1 3 ML2 (9.44)
Notons que le moment d’inertie par rapport au centre de masse est souvent exprimé de la manière
suivante :
I 0 = Mk 2 , (9.45)
où M est la masse de l’objet et où k est le rayon de gyration de l’objet (k a les unités d’une
longueur). C’est en fait la distance quadratique moyenne des particules de l’objet à l’axe passant
par le centre de masse. Autrement dit, k est le rayon d’un anneau équivalent ayant la même masse
et le même moment d’inertie que l’objet considéré. Bien sûr, le rayon de gyration fait référence à
une direction particulière pour l’axe de rotation : un objet a des rayons de gyration différents dans
des directions différentes. En fonction du rayon de gyration, le théorème de Huygens s’exprime
ainsi :
I = M(k 2 + d 2 ) (9.46)
√
1
Par exemple, le rayon de gyration d’un disque plein de rayon R est
2R, alors que le rayon de
√
2
gyration d’une sphère pleine de rayon R est
5 R.
9.6 Énergie cinétique de rotation
Nous allons maintenant démontrer qu’un objet de moment d’inertie I en rotation à une vitesse
angulaire ω possède une énergie cinétique K rot. associée à cette rotation, donnée par
K rot. = 1 2 Iω2 = J 2 z
2I
(9.47)
Démontrons cette relation : l’énergie cinétique est bien sûr donnée par
∑
K rot. = 1 2
m i vi 2 (9.48)
i