Document de cours de référence

10. Référentiels accélérés 167
où ρ est la densité de l’air, ρV est la masse de l’élément d’air considéré et où le membre de droite
de l’équation est la masse fois l’accélération centripète. Le volume V se simplifie de cette équation :
2ηΩv sin λ − 1 ρ
dP
dr = −v2 r
(10.26)
Il s’agit ici d’une équation quadratique pour la vitesse v, qu’on peut exprimer en fonction du rayon
r et du gradient de pression dP/dr :
{ √
}
v = −ηΩr sin λ 1 − 1 + dP/dr
Ω 2 rρ sin 2 (10.27)
λ
On vérifie que v est positif dans les deux cas η = 1 et η = −1 (le signe de la racine carrée a été
choisi en conséquence).
Cette formule se simplifie dans le cas où le gradient de pression est petit devant Ω 2 rρ sin 2 λ. Dans
ce cas, le développement du binôme peut être appliqué à la racine carré et on trouve
√
et dans ce cas
1 + dP/dr
Ω 2 rρ sin 2 λ ≈ 1 +
∣ dP
dr
∣
v =
2Ωρ sin λ
dP/dr
2Ω 2 rρ sin 2 λ
(10.28)
(10.29)
Par exemple, un gradient de pression de 3 millibar par 100 km, à une latitude de 45 ◦ , produit une
vitesse de 22 m/s.
Remarquons que si dP/dr > 0 (donc η = 1), une solution existe toujours, même pour de très forts
gradients de pression. Par contre, si dP/dr < 0 (donc η = −1), le gradient ne peut pas excéder
une certaine valeur, sinon la racine carrée de la solution (10.27) devient imaginaire : pour que v
soit réel, il faut que
∣ ∣∣∣ dP
dr ∣ < Ω2 rρ sin 2 λ (10.30)
Ceci signifie qu’un anticyclône est limité dans son intensité : la force de Coriolis dans ce cas est
dirigée vers le centre, contre le gradient de pression, et sert à stabiliser la structure. Mais elle ne
peut pas l’emporter sur la gradient de pression si celui-ci est trop grand ou si le rayon r est trop
petit. Par contre, les cyclônes peuvent être beaucoup plus intenses.
10.5 Marées
Les marées sont causées par l’inhomogénéité du champ gravitationnel lunaire ou solaire sur
l’étendue de la Terre. Comme on doit étudier ce phénomène dans le référentiel terrestre et que
l’accélération de ce dernier y joue un rôle, nous étudions ce phénomène dans cette section.
Pour simplifier, ne tenons compte que de l’effet du Soleil pour commencer. Soit n le vecteur unité
dirigé du centre du Soleil vers le centre de la Terre et ˆr le vecteur unité dirigé du centre du Soleil
vers un point d’observation sur la Terre. Si r s est la distance Terre-Soleil (centre à centre), alors le
champ gravitationnel solaire au centre de la Terre est
g 0 = −GM ⊙
n
r 2 s
(10.31)