Document de cours de référence

118 8. Mouvement dans un champ de force central
P
r′
r
aphélie
F′
a
c
ϕ
F
périhélie
b
r 0
Figure 8.6. Description d’une ellipse en coordonnées polaires (r, ϕ), avec l’un des foyers (F ) comme
origine. Le demi grand axe a, le demi petit axe b et c = ea sont indiqués. Le maximum de |ṙ| se produit
à r = r 0 , quand ϕ = ±π/2.
8.4 Propriétés des coniques
Nous devons maintenant démontrer que la courbe décrite par l’équation
possède les propriétés des coniques.
r(ϕ) =
r 0
1 + e cos ϕ
(8.39)
Commençons par le cas e < 1. Notons les propriétés suivantes (voir la figure 8.6) :
1. La courbe est bornée, c’est-à-dire que r n’est jamais infini, puisque le dénominateur de
l’expression (8.39) n’est jamais nul.
2. La courbe est fermée sur elle-même. En effet, l’expression (8.39) est une fonction périodique en
ϕ de période 2π, et donc elle revient au même point après une révolution complète.
3. La courbe est symétrique par rapport à l’axe horizontal, car l’expression (8.39) est une fonction
paire de ϕ.
4. Le point le plus rapproché de l’origine, le péricentre, correspond à ϕ = 0, et sa distance de
l’origine est r p = r 0 /(1 + e). Le point le plus éloigné, l’apocentre, correspond à ϕ = π et sa
distance de l’origine est r a = r 0 /(1 − e). La distance de l’objet en quadrature, c’est-à-dire à
ϕ = π/2, est précisément r 0 .
5. La largeur de la courbe est le grand axe, noté 2a (a est le demi grand axe), qui vaut
et l’équation de la courbe peut s’écrire
2a = r p + r a = 2r 0
1 − e 2 =⇒ a = r 0
1 − e 2
r(ϕ) = a(1 − e2 )
1 + e cos ϕ
(8.40)
6. Définissons la distance c = ae, et introduisons un point F ′ situé à une distance 2c à gauche
de l’origine F (voir figure). Montrons que la somme des distances entre un point P et les deux
points est la même pour tous les points de la courbe (ce qui confirmerait que la courbe est une
ellipse, selon l’une des définitions habituelles de l’ellipse). Ces deux points (F et F ′ ) sont appelés