Document de cours de référence

138 9. Moment cinétique et rotation des corps
circulaire autour de cet axe. On dit ‘instantanément’, car l’orientation de A peut changer au cours
du temps. Ainsi, le vecteur R 0 décrit le mouvement de translation de l’objet et le vecteur r décrit un
mouvement de rotation par rapport au point O. Le point O peut être choisi de manière arbitraire,
mais il est généralement pratique de placer le point O au centre de masse de l’objet, en raison
de la relation (9.13) : le théorème du moment cinétique s’applique lorsque J et N sont calculés
au centre de masse. Cependant, si l’objet est contraint d’effectuer un mouvement de rotation par
rapport à un axe invariable en direction et que le centre de masse n’est pas situé sur cet axe, il est
avantageux de placer le point O quelque part le long de cet axe. C’est le cas, par exemple, d’un
objet asymétrique fixé à un essieu.
A
ρ
v ⊗
P
ω
ψ
O
r
Figure 9.2. Schéma illustrant l’orientation du vecteur vitesse angulaire ω.
Nous allons désormais supposer que le point O est fixe et que l’objet rigide est en rotation autour
de ce point, de sorte que la position r d’un point P est de grandeur constante dans le temps,
mais de direction variable. Si ρ désigne la distance du point P à l’axe A de rotation instantané, le
module de la vitesse de P est v = ωρ, où ω est la fréquence angulaire de rotation au de l’axe A.
D’autre part, le vecteur vitesse v du point P est perpendiculaire au vecteur position r, en raison
de la longueur fixe de r :
v · r = 0 car 0 = d dt r2 = 2v · r (9.27)
La vitesse v est aussi perpendiculaire à l’axe de rotation (cet axe est perpendiculaire à l’arc de
cercle décrit par le point P). Ces deux facteurs rendent extrêmement utile l’introduction d’un
nouveau concept, celui de vecteur vitesse angulaire, noté ω, dont la définition est la suivante : ce
vecteur est parallèle à l’axe de rotation A. Sa grandeur est la fréquence angulaire de rotation ω. Sa
direction est dictée par la règle de la main droite : si le sens de rotation est indiqué par les doigts
de la main droite, celui de ω est indiqué par la direction du pouce. À l’aide de ces définitions, on
vérifie que le vecteur-vitesse du point P est donné par
v = ω ∧ r (9.28)
En effet, la direction de v est alors prependiculaire à la fois à r et à l’axe de rotation, comme il se
doit, et sa grandeur est
v = ω|r| sin ψ = ωρ (9.29)