Document de cours de référence

90 6. Énergie et Travail
Problème 6.11
Pour apprécier notre bonne vieille force de gravité qui décroît en l’inverse du carré de la distance, étudions ce
qui se passerait si elle décroissait plutôt comme la quatrième puissance de la distance, c’est-à-dire supposons
que la force entre deux masses ponctuelles m 1 et m 2 ait la forme suivante :
où K est une constante.
F = − Km 1m 2
r12
4 ˆr 12
a) Quel est l’énergie potentielle associée à cette force?
b) Reprenez le calcul effectué dans les notes de cours sur la force exercée par une coquille sphérique (section
6.3), mais adapté à la loi de force ci-haut. Calculez la force exercée par la coquille creuse de masse M sur
une particule de masse m. Vous n’avez pas besoin de refaire tous les calculs des notes de cours, mais seulement
ceux qui doivent être adaptés en raison du changement de loi de force.
c) Peut-on dire dans ce cas que la coquille attire la particule comme si toute sa masse était concentrée en son
centre? Expliquez.
d) Calculez maintenant la force F (r) exercée sur une particule de masse m par une planète de rayon a, de
densité uniforme et de masse M. Vous devez pour cela intégrer les contributions de coquilles ayant des rayons
R variant de zéro à a (attention : les masses de ces différentes coquilles sont différentes, puisque c’est la densité
ρ de la planète qui est supposée constante). On suppose que la particule est située à une distance r > a du
centre de la planète. Faites un graphique de la force F (r) en fonction de r. Qu’y a-t-il d’insolite et d’inquiétant
dans cette force? Une telle planète pourrait-elle être stable? Expliquez.
Note : l’intégrale suivante sera utile
∫ R 2 (3r 2 − R 2 )
(r 2 − R 2 ) 2 dR = R3
r 2 − R 2
Problème 6.12
L’interaction entre deux atomes neutres est souvent décrite par le potentiel de Lennard-Jones :
U(r) = U 0
[ ( r0
r
) 12 ( r0
) ] 6
− 2
r
où r 0 est une constante ayant les unités d’une longueur et U 0 une constante ayant les unités de l’énergie. (i)
Trouvez la position d’équilibre stable dans ce potentiel et (ii) la fréquence des petites oscillations lorsqu’une
particule est très proche du point d’équilibre stable, en procédant à un développement de Taylor au 2e ordre
autour de ce point.
Problème 6.13
Une balle en caoutchouc rebondit sur le sol et perd une fraction 1 − r de son énergie (0 < r < 1) à chaque
rebond. En supposant que r demeure constant même quand il ne reste que très peu d’énergie à la balle,
montrez que le temps nécessaire pour que la balle s’immobilise est fini et donné par
T = 1 g
√
2E
m
1 + √ r
1 − √ r .