Document de cours de référence

8. Mouvement dans un champ de force central 117
Notons que la quantité
r 0 ≡ J 2
km
(8.32)
a les unités d’une longueur : c’est la position du minimum du potentiel effectif dans l’Éq. (8.26).
Définissons ensuite la variable u ≡ r 0 /r, telle que du = −u 2 dr/r 0 . La relation (8.31) devient
du
dϕ = −
(8.33)
√− E + 2u − u
E 2 0
où E 0 est le minimum du potentiel effectif, c’est-à-dire la valeur minimum de l’énergie que
l’objet peut avoir, selon l’Éq. (8.27). Il est maintenant possible de compléter le carré figurant
au dénominateur :
− E + 2u − u 2 = −(u − 1) 2 + 1 − E (8.34)
E 0 E 0
on trouve alors
du
dϕ = −√ (8.35)
e2 − (u − 1) 2
où on a défini
e ≡
√
1 − E E 0
=
√
1 + 2EJ 2
k 2 m
(8.36)
L’intégrale se fait maintenant facilement :
( ) u − 1
ϕ = arccos + cst. (8.37)
e
Choisissons l’origine des ϕ de sorte que la constante d’intégration soit nulle (ce choix est standard).
On peut alors écrire
r
u = 1 + e cos ϕ =⇒ r(ϕ) = 0
(8.38)
1 + e cos ϕ
Il s’agit là de l’équation d’une section conique (ou simplement, d’une conique) en coordonnées
polaires, avec l’origine au foyer. Rappelons qu’une conique est la courbe d’intersection d’un cône
avec un plan. Le paramètre e est appelé excentricité. Si 0 ≤ e < 1, la conique est une ellipse; si
e > 1, il s’agit d’une hyperbole à deux branches; si e = 1, il s’agit d’une parabole.
C’est l’énergie de l’objet qui détermine le type de trajectoire suivi :
1. Si l’énergie de l’objet est négative (E < 0), alors l’excentricité e est plus petite que 1 et la
trajectoire de l’objet est elliptique avec le centre d’attraction à l’un des foyers. C’est précisément
la première loi de Kepler.
2. Si l’énergie est positive (E > 0), alors l’excentricité est plus grande que 1 et la trajectoire est
hyperbolique. La particule ne parcourt qu’une seule branche de l’hyperbole, avec une asymptote
à ϕ = ±arccos(−1/e). Voir à cet effet la Fig. 8.7.
3. Si l’énergie est nulle (E = 0), la trajectoire est parabolique. Il est clair que ce cas est une
singularité mathématique mais on dit qu’une comète a une trajectoire parabolique si la mesure
des paramètres de son orbite mène à une excentricité compatible avec e = 1, à l’intérieur des
marges d’erreurs.