Document de cours de référence

22 2. Mouvement d’un point
référentiel S ′ . La transformation (2.32) nous permet de relier v à v ′ :
v ′ ≡ dr′
dt ′
= d (r − Vt)
(2.33)
dt
= dr
dt − V ≡ v − V
D’autre part, l’accélération a d’une particule est la même dans les deux référentiels, car V est une
constante indépendante du temps :
a ′ = dv′
dt ′
= d (v − V)
dt
= dv
dt = a
( dV
dt = 0 )
On dit que l’accélération a est invariante par la transformation de Galilée.
(2.34)
Problème 2.1
L’une des extrémités d’un ressort obéissant à la loi de Hooke est fixée à l’origine et l’autre extrémité à une
masse m. Cette masse est libre de se déplacer sans frottement sur un plan (le plan xy). En négligeant la masse
du ressort, on peut montrer que la position de la masse en fonction du temps est
r(t) = ˆxa cos ωt + ŷb sin ωt
où ω = √ k/m est une fréquence angulaire, k est la constante de rappel du ressort et a, b sont des constantes.
a) Calculez la vitesse v en fonction du temps.
b) Calculez l’accélération a en fonction du temps. Le résultat est-il compatible avec la deuxième loi de Newton
F = ma? Notez que F = −kr dans le cas d’un ressort.
c) L’énergie totale de la masse est
E = 1 2 mv2 + 1 2 kr2
Calculez l’énergie E et vérifiez qu’elle ne dépend pas du temps.
d) Le moment cinétique de la masse évalué à l’origine est
L = mr ∧ v
Calculez ce vecteur et vérifiez qu’il ne dépend pas du temps.
Problème 2.2
La position d’une particule en fonction du temps est donnée par l’expression suivante :
où R, v x et ω sont des constantes (R > 0).
r(t) = R cos(ωt) ˆx + R sin(ωt) ŷ − v x t ˆx
a) Tracez approximativement cette courbe sur le plan xy (choisissez une valeur positive de v x ).
b) À quel endroit sur cette courbe la vitesse v = |v| de la particule est-elle maximale?
c) Dans la même veine, que peut-on dire de l’accélération?