Document de cours de référence

5. Applications des lois du mouvement 59
La valeur de φ dépend de l’origine des temps et peut en toute généralité être fixée à zéro. Quant à
l’amplitude A, ce n’est rien d’autre que la grandeur de la composante de la vitesse perpendiculaire
à B:
On peut donc écrire la solution des équations (5.44) comme suit :
où v z est une constante.
v 2 x + v2 y ≡ v2 ⊥ = A2 (5.48)
v(t) = v ⊥ (ˆx cos ω c t − ŷ sin ω c t) + v z ẑ (5.49)
La position en fonction du temps s’obtient par simple intégration :
r(t) = v ⊥
ω c
(ˆx sin ω c t + ŷ cos ω c t) + v z t ẑ (5.50)
(nous avons choisi l’origine afin que la constante d’intégration soit nulle). La trajectoire décrite par
cette équation, lorsqu’on la projette sur le plan xy, est un cercle de rayon v ⊥ /ω c , centré à l’origine
et décrit dans le sens horaire si ω c est positif, antihoraire si ω c est négatif (le signe de ω c est bien
sûr déterminé par le signe du produit qB). Dans l’espace, la trajectoire est hélicoïdale. La période
de rotation dans le plan xy est T = 2π/ω c et est indépendante du rayon de l’hélice.
B
Figure 5.6. Trajectoire hélicoïdale d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme B.
B
1
2
C
V
Figure 5.7. Trajectoire d’une particule chargée dans un cyclotron.