Document de cours de référence

4 1. Rappels sur les vecteurs
Étant donné que la base est orthonormée, on peut facilement retrouver les composantes par projection
:
A x = A · ˆx A y = A · ŷ A z = A · ẑ (1.7)
Le produit scalaire de deux vecteurs A et B s’exprime aisément en fonction de leurs composantes,
en utilisant la distributivité du produit scalaire :
A · B = (A xˆx + A y ŷ + A z ẑ) · (B xˆx + B y ŷ + B z ẑ)
= A x B xˆx · ˆx + A x B yˆx · ŷ + · · · + A z B z ẑ · ẑ
= A x B x + A y B y + A z B z
(1.8)
Ceci nous permet de calculer l’angle entre deux vecteurs dont on connait les composantes, en
retournant à la définition géométrique du produit scalaire :
cos ̸
(A, B) = A · B
|A||B|
Remarquons ici que différents vecteurs en physique ont des unités différentes : la position se mesure
en mètres, la vitesse en mètres/seconde, etc. La grandeur d’un vecteur possède donc des unités et
il faut prendre garde de combiner (c’est-à-dire comparer ou additionner) par erreur des vecteurs
ayant des unités (ou dimensions) différentes. Les vecteurs orthonormés sont sans unité. Les unités
d’une quantité physique vectorielle A sont donc aussi celles de ses composantes A x , A y et A z .
1.3 Produit vectoriel
Rien de ce qui a été exposé jusqu’ici n’est vraiment spécifique à l’espace
géométrique à trois dimensions (R 3 ), en dépit de la notation explicite
A B
utilisée. La généralisation à R n est immédiate, comme l’est ∨ la restriction
au plan (R 2 ). Il existe cependant un autre produit de vecteurs, B
spécifique à R 3 . Il s’agit du produit vectoriel, défini géométriquement
comme suit : le produit vectoriel A ∧ B de deux vecteurs est défini θ
comme un vecteur perpendiculaire à la fois à A et B, dont la grandeur
A
est
|A ∧ B| = |A||B|| sin ̸ (A, B)| (1.10)
et dont l’orientation est obtenue par la règle de la main droite : en disposant les trois premiers
doigts de la main droite (pouce, index et majeur) pour former trois direction perpendiculaires,
alors A, B et A ∧ B correspondent (en direction) respectivement au pouce, à l’index et au majeur.
La règle, équivalente, du tire-bouchon, s’exprime ainsi : si on amène A vers B par le chemin le plus
court, et qu’on s’imagine visser une vis ou une ampoule dans le même sens, le sens où s’enfonce
la vis ou l’ampoule est celui de A ∧ B. D’autre part, La grandeur |A ∧ B| est égale à l’aire du
parallélograme délimité par les deux vecteurs A et B, tel qu’illustré sur la figure. L’aire du triangle
délimité par ces deux vecteurs est la moitié de celle du parallélogramme, soit 1 2
|A ∧ B|.
Les propriétés du produit vectoriel, démontrables par géométrie élémentaire de l’espace ou
découlant directement de sa définition, sont les suivantes :
1. Antisymétrie : A ∧ B = −B ∧ A
2. Distributivité: A ∧ (B + C) = A ∧ B + A ∧ C
3. (λA) ∧ B = A ∧ (λB) = λA ∧ B.
(1.9)