Document de cours de référence

8. Mouvement dans un champ de force central 111
C
B
D
F
A
Figure 8.2. Illustration de la loi des aires pour une orbite elliptique. Le foyer F est à l’origine. Les
aires des secteurs AFB et CFD sont égales, si les temps pour aller de A à B et de C à D sont égaux.
infinitésimal est l’aire du triangle formé par les deux vecteurs r et r + dr et peut s’exprimer par le
produit vectoriel :
dS = 1 2
|r ∧ (r + dr)|
= 1 2
|r ∧ dr|
= 1 2
|r ∧ v|dt
(8.9)
= |J|
2m dt
Le taux de changement de cette aire, c’est-à-dire l’aire balayée par unité de temps, est justement
dS
dt = |J|
2m
(8.10)
et est constant si le moment cinétique est conservé.
O
h
A B C D
v
Figure 8.3. Illustration de la loi des aires pour une particule libre. Les aires des triangles OAB, OBC
et OCD sont égales si les segments AB, BC, et CD sont égaux.
L’illustration la plus simple de la loi des aires est le mouvement d’une particule libre. Considérons la
Fig. 8.3. Une particule libre se déplace à vitesse constante v, à proximité d’une origine O arbitraire.
Supposons que la particule se trouve à tour de rôle aux points A, B, C et D à des temps également
espacés. Puisque sa vitesse est constante, les segments AB, BC et CD sont d’égales longueurs. La
loi des aires stipule que les aires des triangles OAB, OBC et OCD sont égales. Or ceci est évident
par géométrie élémentaire puisque chacun de ces triangles a une hauteur h et qu’ils ont tous des
bases égales.