Document de cours de référence

8. Mouvement dans un champ de force central 131
Problème 8.15
Dans ce problème nous étudierons le cas d’une particule subissant une force centrale répulsive en inverse du
carré de la distance, comme celle qui existe entre deux particules chargées de même signe. On posera que la
force ressentie par la particule est
F (r) = k r 2 ˆr
où k > 0. Dans le cas d’une répulsion coulombienne, k = q 1 q 2 /4πε 0 . L’énergie potentielle associée est (notez
le signe)
U(r) = k r
a) Reprenez les calculs de la section 8.3, mais cette fois avec une énergie potentielle associée à une force
répulsive, ce qui veut dire que le signe de k est changé. Autrement dit, partez de l’expression suivante de
l’énergie totale :
E = 1 2 mṙ2 +
J2
2mr 2 + k r
et montrez que la trajectoire de la particule est décrite par l’équation suivante :
r(ϕ) =
r 0
e cos ϕ − 1
où
r 0 = J2
km , e = √
1 + E E 0
, E 0 = k
2r 0
b) Montrez que cette courbe est une hyperbole (en eplicitant la correspondance avec les coordonnées
cartésiennes) et tracez-là en indiquant les asymptotes, la position du centre de répulsion et la distance entre
ce centre et l’origine des coordonnées cartésiennes.
c) Supposez que le projectile s’approche du centre de répulsion en provenance de l’infini avec un paramètre
d’impact b. Montrez, de manière géométrique, que ce paramètre d’impact coïncide avec le paramètre de même
symbole qui décrit l’équation de l’hyperbole en coordonnées cartésiennes :
(x ′ ) 2
a 2
− y2
b 2 = 1
d) Si v 0 désigne la vitesse du projectile lorsqu’il est infiniment éloigné de la cible, alors donnez une expression
de E et de J en fonction de v 0 , de b et de la masse m du projectile. Montrez ensuite que l’angle de diffusion
θ 1 du projectile est donné par
cot θ 1
2 = mv2 0 b
k
Cette dernière relation fut utilisée par Rutherford dans l’interprétation de sa célèbre expérience de diffusion
de particules alpha sur une feuille d’or, afin de proposer son modèle nucléaire de l’atome, en opposition avec
le modèle du “plum pouding” de J.J. Thomson.