Document de cours de référence

80 6. Énergie et Travail
6.6 Travail
La notion de force conservative a été définie par la notion de potentiel d’une force. Étroitement
liée à cette notion est celle du travail d’une force, que nous expliquons ici.
La définition élémentaire du travail d’une force F uniforme (c’est-à-dire constante dans l’espace)
est le produit de la force par le déplacement : si une particule se déplace de manière linéaire du
point initial (r i ) au point final (r f ), alors le travail de la force F sur cette particule est
W = F · (r f − r i ) (6.51)
En fait, cette définition n’est pas très utile, parce qu’une particule ne se déplace généralement pas
sur une droite et la force appliquée n’est généralement pas uniforme. Il faut donc généraliser la
notion de travail à une trajectoire courbe.
Supposons que la particule soit initialement au point r i et qu’elle se déplace selon une trajectoire
C jusqu’au point r f . En chaque point r de sa trajectoire, la particule subit une force différente
F(r). La définition correcte du travail consiste à subdiviser la trajectoire en un grand nombre N
de segments linéaires (cf. Fig. 6.3). Si chacun des segment est suffisamment petit, on peut négliger
la variation de la force le long du segment et définir le travail le long du segment comme en (6.51).
Le travail total le long de la trajectoire est alors la somme du travail effectué sur chaque segment :
W ≈
N∑
F(r n ) · ∆r n (∆r n ≡ r n − r n−1 ) (6.52)
n=1
(notons que r N ≡ r f et que r 0 ≡ r i ). Dans la limite où N → ∞ et où la taille des segments tend
vers zéro, cette définition du travail devient exacte et est donnée par une intégrale :
W [C] = lim
N→∞
N∑
∫
F(r n ) · ∆r n =
n=1
C
dr · F(r) (6.53)
Le travail W [C] dépend a priori du chemin C utilisé pour aller de r i à r f . En particulier, si le
chemin C est inversé, c’est-à-dire s’il est parcouru en sens inverse, de r f à r i , alors le travail change
de signe. On écrit alors
W [C −1 ] = −W [C] (6.54)
où C −1 désigne le même chemin que C, mais parcouru dans le sens opposé. D’autre part, si on
place deux chemins C et D bout à bout, la fin de l’un coïncidant avec le début de l’autre, et qu’on
désigne par CD le chemin complet ainsi obtenu, on a la relation
W [CD] = W [C] + W [D] (6.55)
Théorème travail-énergie
La définition du travail étant énoncée, nous pouvons maintenant démontrer le théorème travailénergie:
si F est la force totale exercée sur la particule et C la trajectoire réelle de la particule,
alors le travail de F le long de C est égal au gain d’énergie cinétique de la particule (énergie
cinétique finale moins énergie cinétique initiale):
W [C] = K f − K i (6.56)