Document de cours de référence

8. Mouvement dans un champ de force central 119
les foyers de l’ellipse. La démonstration est simple, et se base sur la loi des cosinus : la distance
r ′ est telle que
r ′2 = r 2 + 4c 2 − 4rc cos(π − ϕ) (8.41)
puisque π−ϕ est l’angle entre les côtés du triangles de longueurs r et 2c respectivement. Comme
cos(π − ϕ) = − cos ϕ, alors
r ′2 = r 2 + 4c 2 + 4rc cos ϕ (8.42)
Mais l’équation (8.40) peut aussi s’écrire er cos ϕ = a(1 − e 2 ) − r, ce qui permet d’éliminer ϕ
de l’équation ci-haut :
r ′2 = r 2 + 4e 2 a 2 + 4a ( a(1 − e 2 ) − r ) (8.43)
(nous avons substitué c = ae). En simplifiant, on trouve
r ′2 = r 2 + 4a 2 − 4ar = (r − 2a) 2 (8.44)
Prenons maintenant la racine carrée de l’équation. Comme r est toujours inférieur à 2a,
√
(r − 2a)2 = 2a − r et on trouve enfin
r ′ = 2a − r =⇒ r ′ + r = 2a (8.45)
Ceci démontre donc la propriété que la somme des distances aux deux foyers est une constante,
égale à 2a.
7. Cette dernière propriété de l’ellipse implique une symétrie entre les deux foyers, c’est-à-dire que
la courbe doit être symétrique lors d’une réflexion par rapport à son centre, situé à mi-chemin
entre les deux foyers, donc à une distance c = ae de l’origine.
P
r
r′
F
ϕ
2c
F′
Figure 8.7. Description d’une trajectoire hyperbolique en coordonnées polaires, avec un des foyers
comme origine. L’autre moitié de l’hyperbole (en pointillé) n’est pas parcourue par l’objet.
Continuons par le cas e > 1. Notons les propriétés suivantes (voir la figure 8.7) :
1. Comme dans le cas précédent, la courbe est symétrique lors d’une réflexion par rapport à l’axe
horizontal, en raison de la parité de la fonction cos ϕ.
2. Comme e > 1, le dénominateur de l’expression (8.39) s’annule quand cos ϕ = −1/e, et donc la
courbe s’éloigne à l’infini à ces valeurs de ϕ, qui correspondent à des asymptotes. Appelons ϕ 0
la valeur correspondante de ϕ, c’est-à-dire telle que cos ϕ 0 = −/e et π/2 < ϕ 0 < π.
3. Dans le domaine ϕ ∈ [ϕ 0 , 2π−ϕ 0 ], la valeur de r tirée de l’éq. (8.39) est négative. Géométriquement,
ceci correspond un point situé à une distance |r| > 0 de l’origine, mais de l’autre côté de l’origine.