Document de cours de référence

162 10. Référentiels accélérés
sur ses pieds (ou sur tout autre partie de son corps en contact avec le sol) qui compense exactement
la force gravitationnelle. La sensation de pesanteur est étroitement liée à cette force normale (on
la ressent moins lorsqu’on nage sous l’eau). 1 En somme, la sensation de pesanteur est causée par
à peu près toutes les forces sauf la force de gravité, affirmation qui peut sembler paradoxale, mais
qui demeure néanmoins exacte!
L’entraînement des astronautes en apesanteur se fait souvent à l’intérieur d’avions qui, pendant une
fraction de minute, suivent une trajectoire parabolique comme celle d’une projectile. Autrement dit,
le long de cette trajectoire parabolique, les moteurs de l’avion ne font que compenser exactement
la force de résistance de l’air agissant sur l’avion et le tout suit une trajectoire identique à celle
que suivrait l’avion en l’absence d’atmosphère, tous moteurs coupés. L’avion constitue alors un
référentiel en “chute libre”, dont l’accélération est a 0 = g et ses occupants sont en état d’apesanteur.
10.3 Référentiel tournant
Considérons maintenant un référentiel tournant S r , dont l’origine coïncide en tout temps avec celle
d’un référentiel inertiel S i mais dont les axes sont en rotation uniforme par rapport à ceux de S i .
Désignons par {ˆx, ŷ, ẑ} les vecteurs de base du référentiel S i et par {ˆx ′ , ŷ ′ , ẑ ′ } ceux du référentiel
tournant S r . Le référentiel tournant est caractérisé par un vecteur de vitesse angulaire ω, constant
en grandeur et en direction. Selon la relation (9.28), la dérivée temporelle des vecteurs de base
{ˆx ′ , ŷ ′ , ẑ ′ } est
dˆx ′
dt = ω ∧ dŷ ′
ˆx′ dt = ω ∧ dẑ ′
ŷ′
dt = ω ∧ ẑ′ (10.8)
Un vecteur quelconque B peut être décrit dans les deux repères comme
Sa dérivée par rapport au temps est
( ) dB
= Ḃxˆx + Ḃyŷ + Ḃzẑ
dt
i
B = B xˆx + B y ŷ + B z ẑ
= B ′ xˆx′ + B ′ yŷ′ + B ′ zẑ′ (10.9)
= Ḃ′ xˆx′ + Ḃ′ yŷ′ + Ḃ′ zẑ′ + B x ′ ˙ˆx ′ + B y ′ ˙ŷ ′ + B z ′ ˙ẑ ′
( ) dB
= + ω ∧ (B
dt
xˆx ′ ′ + B yŷ ′ ′ + B zẑ ′ ′ )
r
( ) dB
= + ω ∧ B
dt
r
(10.10)
Le premier terme n’est autre que la dérivée temporelle de B telle que mesurée dans le référentiel
tournant, alors que le membre de gauche est cette même dérivée, mesurée dans le référentiel fixe.
On écrit donc
( ) ( )
dB dB
= + ω ∧ B (10.11)
dt dt
i
En particulier, si B = r (la position d’un objet), cette formule nous permet de comparer les vitesses
du même objet dans les deux référentiels :
r
v i = v r + ω ∧ r (10.12)
1 D’autres facteurs physiologiques sont aussi impliqués, en particulier les mouvements des particules en
suspension dans le colimaçon de l’oreille interne, responsable de la sensation d’équilibre.