Document de cours de référence

11. Relativité restreinte 207
Exemple de processus de collision inélastique
Par exemple, considérons une particule de masse m et d’énergie cinétique K qui entre en collision
avec une autre particule de même masse, initialement au repos. Cherchons quelle doit être la valeur
minimale de K pour que la collision puisse entraîner la création d’une paire particule-antiparticule
de masses M, sans que les deux particules initiales soient annihilées.
Soit ε l’énergie de la particule incidente et p sa quantité de mouvement (composante en x). L’énergie
totale du système dans le référentiel S du laboratoire est E = ε+mc 2 et la quantité de mouvement
totale dans ce référentiel est P = p, car la deuxième particule est initialement au repos.
Soit S ′ le référentiel du centre d’impulsion du système, défini de manière à ce que la quantité de
mouvement totale soit nulle dans ce référentiel :
P ′ = γ(P − βE/c) = 0 =⇒ β = pc
E
Dans ce référentiel, toute l’énergie cinétique des particules est disponibles pour créer de la matière.
L’énergie cinétique minimale pour créer deux particules de masse M est K ′ = 2Mc 2 (dans le
référentiel S ′ ). Bien sûr, K ′ = E ′ − 2mc 2 . La condition minimale de création de particules est donc
E ′ ≥ 2(M + m)c 2 (11.107)
L’énergie totale E ′ dans ce référentiel est, d’après le théorème de Koenig relativiste,
E ′ = E γ
ou encore E 2 = E ′2 + P 2 c 2
D’autre part, P = p, E = ε + mc 2 et ε 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 . L’énergie cinétique K de la particule
incidente, dans le référentiel S, est K = ε − mc 2 . Il faut donc traduire la condition (11.107) en
fonction de K et non de E ′ , en utilisant la relation E ′2 = E 2 − P 2 c 2 , un simple exercice d’algèbre,
qui se mène comme suit : Premièrement,
E ′2 = E 2 − P 2 c 2 = (ε + mc 2 ) 2 − (ε 2 − m 2 c 4 ) = 2mc 2 (mc 2 + ε) = 2mc 2 (2mc 2 + K)
Le carré de la relation (11.107) est alors
(E ′ ) 2 = 2mc 2 (2mc 2 + K) ≥ 4(M + m) 2 c 4
En isolant K, on trouve
(
K ≥ 2Mc 2 2 + M )
m
Par exemple, dans le cas de deux électrons qui créent, lors de leur collision, une paire électronposittron
supplémentaire, on a M = m et donc
K min. = 6mc 2 =⇒ ε min. = 7mc 2 = mc2 √
1 − β
2
où β est la vitesse minimale (en unités de c) de l’électron. Donc
1
√ = 7 = γ =⇒ β = 1 − 1 = 0, 980
1 − β
2 γ2