Document de cours de référence

11. Relativité restreinte 193
(les mêmes processus, mais avec les antiparticules correspondantes, sont également possibles). La
signification du temps de vie d’une particule instable est la suivante : étant donné un nombre N(0)
de particules au temps t = 0, le nombre de particules au temps t est
N(t) = N(0) exp − t τ
(11.41)
On définit aussi la demi-vie T 1/2 d’une particule instable comme le temps après lequel la moitié
des particules se sont désintégrées. La demi-vie est proportionnelle au temps de vie, car
N(T 1/2 ) = 1 2 N(0) = N(0) exp −T 1/2
τ
=⇒ T 1/2 = ln 2 τ ≈ 0, 693τ (11.42)
À première vue, il est difficile de comprendre pourquoi il y a tant de muons détectés au niveau
de la mer, en comparaison de ce qu’on détecte à haute altitude. Supposons qu’on mesure le flux
de muons au niveau de la mer et au sommet d’une montagne de 2 000 m d’altitude. Même en
supposant que les muons se déplacent à la vitesse de la lumière (un maximum), la distance qu’ils
pourraient parcourir en un temps de vie τ µ serait cτ µ ≈ 659 m. Le rapport entre le flux observé en
altitude et au niveau de la mer serait
flux à 2000 m
flux au niveau de la mer
= e −2000/660 = 0, 048
Or, le rapport mesuré des flux est plutôt de 0, 7, ce qui correspond à un temps de vie dix fois plus
long que le temps de vie mesuré sur des muons au repos (stoppés dans un cristal, par exemple). La
raison de ce ‘paradoxe’ est la dilatation du temps. Le temps de vie du muon en mouvement est plus
long parce que son horloge interne nous parait ralentir par un facteur γ. On peut donc conclure de
cette expérience que le muon moyen en provenance de la haute atmosphère à un γ moyen égal à
10 (en fait, les muons nous parviennent avec une certaine distribution statistique de vitesses).
On peut aussi considérer le même phénomène, cette fois du point de vue du muon, c’est-à-dire dans
un référentiel se déplaçant avec le muon. Dans ce cas, le temps de vie du muon n’est pas affecté
par la dilatation du temps, mais la distance à parcourir entre l’altitude de 2000m et le niveau de
la mer est réduite par la contraction des longueurs, d’un facteur γ. En moyenne, cette distance
est réduite de 2000m à 200m (le γ moyen est de 10). La plupart des muons ont donc le temps de
franchir cette distance avant de ce désintégrer.
Paradoxe des jumeaux
Ce paradoxe célèbre, formulé par P. Langevin, raconte l’histoire de deux jumeaux identiques, dont
l’un décide de partir en voyage interplanétaire à bord d’un vaisseau spatial qui se déplace très vite.
Appelons S le référentiel terrestre et S ′ le référentiel du voyageur. Du point de vue de son frère resté
sur la Terre, le voyageur se déplace à une grande vitesse et son ‘horloge interne’ bat moins vite. Le
voyageur semble donc vieillir moins vite. Après son séjour sur la planète X, le voyageur revient. Sa
vitesse est toujours grande au retour, même si elle est dans la direction opposée. Encore une fois,
il semble vieillir moins vite que son frère. À son retour, la différence d’âge doit être évidente (sans
compter les horloges de bord qui ont retardé d’autant).
Le paradoxe vient de ce qu’on peut servir cet argument dans l’autre sens, du point de vue du
voyageur dans le référentiel S ′ . De ce point de vue, la Terre se déplace à une grande vitesse (dans
le sens opposé) et le temps s’écoule moins vite sur Terre. À première vue, c’est le jumeau resté sur
la Terre qui devrait être plus jeune! Lequel a raison?
En réalité, c’est le voyageur qui est plus jeune. La raison en est que le référentiel S ′ n’est pas
toujours un référentiel inertiel. Si le voyageur revient à son point de départ, c’est qu’il a dû subir