Document de cours de référence

2 1. Rappels sur les vecteurs
a) Commutativité: A + B = B + A.
b) Associativité: A + (B + C) = (A + B) + C.
c) Il existe un élément neutre 0, tel que A + 0 = A.
d) Chaque vecteur A possède un élément opposé, noté −A.
2. Étant donné un élément A de V et un nombre réel 2 λ, on peut définir un nouvel élément de V,
noté λA. Cette opération est appelée multiplication par un scalaire, et possède les propriétés
suivantes :
a) Associativité: µ(λA) = (µλ)A.
b) Distributivité sur l’addition des vecteurs : λ(A + B) = λA + λB.
c) Distributivité sur l’addition des scalaires : (λ + µ)A = λA + µA.
d) Zéro est l’élément absorbant : 0A = 0. Notez la distinction entre 0 (un nombre réel) et 0
(l’élément neutre de l’addition dans V ).
L’espace euclidien à trois dimensions R 3 est le paradigme des espaces vectoriels. Les vecteurs
que nous avons introduits de manière géométrique plus haut respectent toutes les conditions qui
définissent un espace vectoriel. En fait, la définition ci-haut d’un espace vectoriel se veut une
abstraction des propriétés des vecteurs de l’espace géométrique à trois dimensions, permettant
d’étendre la notion de vecteur à des espaces à plus de trois dimensions. Notons cependant que la
notion de grandeur d’un vecteur n’apparaît pas dans la définition générale d’un espace vectoriel.
Elle est introduite comme une condition supplémentaire et définit ce qu’on appelle un espace
vectoriel normé (c’est-à-dire qui possède une norme, une définition de la grandeur).
Rappelons justement ce qu’est la dimension d’un espace vectoriel. N vecteurs A 1 , A 2 , . . . , A N sont
qualifiés de linéairement indépendants s’il est impossible de trouver N nombres λ i (i = 1, 2, . . . , N)
tels que
λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + · · · + λ N A N = 0
(la solution λ 1 = λ 2 = · · · = λ N = 0 est exclue). Dans le cas contraire, les N vecteurs sont dits
linéairement dépendants et il est possible d’exprimer l’un d’entre eux comme une combinaison
linéaire de tous les autres. Le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants dans un
espace vectoriel est la dimension de cet espace, noté d. L’espace géométrique habituel est de dimension
3, mais on peut étudier des espaces vectoriels de dimension arbitraire, voire de dimension
infinie. Un ensemble de d vecteurs linéairement indépendants forme une base, c’est-à-dire que tout
vecteur A peut alors être exprimé comme une combinaison linéaire de ces vecteurs. Si on note {e i }
(i = 1, 2, . . . , d) les vecteurs de base, alors
A = A 1 e 1 + A 2 e 2 + · · · + A d e d (1.1)
et les coefficients A i sont appelés les composantes du vecteur A. Notons que le mot composante
sert aussi parfois à désigner non pas le nombre A i , mais le vecteur A i e i ; le contexte aide alors à
distinguer les deux usages. On emploi aussi le mot repère pour désigner une base, ou un système
d’axes dans l’espace géométrique.
2 Ce pourrait être aussi un nombre complexe ou, plus généralement, un élément d’un corps commutatif. On
dit alors que V est un epace vectoriel sur R, sur C, etc.