Document de cours de référence

5. Applications des lois du mouvement 51
z
θ = π/3
θ = π/4
θ = π/6
Figure 5.1. Trajectoires paraboliques d’un projectile associées à trois valeurs différentes de l’angle de
tir θ, pour une vitesse de tir v 0 donnée.
Portée
La portée d’un projectile est la distance entre le point de tir et le point de retour au sol. Si le
projectile est tiré à partir du sol et que celui-ci est parfaitement horizontal, la portée x p s’obtient
en résolvant l’équation (5.7) pour z = 0. La solution est soit x = 0 (le point de départ), soit
x p = 2v2 0
g sin θ cos θ = v2 0
sin 2θ (5.8)
g
En fonction de θ, cette portée est maximale quand θ = π/4. D’autre part, la portée augmente avec
v 0 et diminue avec g. Remarquons cependant que l’angle de portée maximale n’est plus le même
si la résistance de l’air est prise en compte, ou si le projectile n’est pas lancé du niveau du sol.
Supposons, en particulier, que le projectile est lancé d’une hauteur h au-dessus du sol. On montre
que la portée du projectile est alors
x p = v2 0
2g
{
sin 2θ +
√
}
8gh
v0
2 cos 2 θ + sin 2 2θ
où on a bien sûr négligé encore une fois la résistance de l’air.
5.2 Le pendule
x
(5.9)
Considérons un pendule simple, tel qu’illustré ci-contre. La tige du pendule
a une longueur l et une masse négligeable, alors que la masse du pendule
lui-même est m. Les forces en présence sur le pendule sont la force gravitationnelle
mg et la tension F de la tige, dirigée le long de la tige (cette
tension dépend évidemment de l’angle que fait la tige avec la verticale et
donc dépend du temps). Nous désirons écrire l’équation du mouvement du
pendule et la résoudre dans l’approximation des oscillations de faible amplitude.
Nous supposerons que le pendule est contraint (par les conditions
initiales) de se déplacer dans un plan.
ϕ
l
F
m g
ϕˆ
ρˆ
Utilisons pour cela un repère local en coordonnées polaires planes (c.-à-d. cylindriques) avec comme
origine le point d’attache de la tige. La tige pointe alors dans la direction ˆρ, l’angle entre la tige et
la verticale est ϕ et le pendule est en mouvement alternativement dans la direction ˆϕ et − ˆϕ. La
position du pendule est alors r = ρ ˆρ. L’équation du mouvement est
m¨r = F + mg (5.10)