Document de cours de référence

72 6. Énergie et Travail
En analyse vectorielle, cette condition revient à demander que le rotationnel du champ vectoriel
F(r) soit nul. En pratique, cette condition est le plus souvent respectée. L’exception notable est
le phénomène d’induction électromagnétique, où un champ magnétique qui varie dans le temps
induit un champ électrique qui ne respecte pas cette condition. 3
Forces centrales
Une force est qualifiée de centrale si elle est toujours dirigée dans la direction radiale ˆr (en coordonnées
sphériques) et qu’elle ne dépend pas des angles. Autrement dit, une telle force s’exprime
comme suit :
F(r) = F (r)ˆr (6.17)
Les forces centrales sont toujours conservatives et le potentiel associé est donné par l’expression
suivante :
U(r) =
∫ r0
r
F (r ′ )dr ′ (6.18)
La constante r 0 indique le zéro de l’énergie potentielle. Dans certains cas, on peut choisir r 0 = ∞,
dans d’autres, r 0 = 0, etc. En effet, le calcul du gradient en coordonnées sphétiques donne
F = −∇U = − ∂U ˆr = F (r)ˆr (6.19)
∂r
Remarque : toutes les forces centrales sont conservatives. En revanche, une force peut ne pas être
centrale et être conservative : le caractère central d’une force est une condition suffisante, mais
non nécessaire. L’exemple le plus simple d’une force non centrale mais conservative est la somme
de deux ou plusieurs forces centrales avec des centres d’attractions différents. Dans ce cas, la force
nette n’est pas toujours dirigée vers le même point, mais elle dérive quand même d’un gradient :
le potentiel de la force totale est la somme des potentiels des différentes forces centrales en cause.
Force gravitationnelle
La force gravitationnelle créée par un objet de masse M, fixe à l’origine, sur un objet de masse m
à une distance r de l’origine est un exemple de force centrale :
Le potentiel associé se calcule comme indiqué ci-haut, avec r 0 → ∞ :
F(r) = − GMm
r 2 ˆr (6.20)
∫ ∞
GMm
U(r) = −
r r ′2 dr ′
[ GMm
=
r ′
= − GMm
r
] ∞
r
(6.21)
L’énergie totale d’une particule de masse m dans le champ gravitationnel fixe d’un objet de masse
M est donc
E = 1 2 mv2 − GMm
(6.22)
r
3 Les champs électrique et magnétique contiennent aussi une certaine énergie et c’est la somme de cette
énergie des champs et de l’énergie des particules qui les subissent et les créent qui est conservée. La loi de
conservation de l’énergie est donc plus subtile dans ce cas.