Document de cours de référence

120 8. Mouvement dans un champ de force central
Ce domaine d’angle décrit une branche distincte de la même courbe, indiquée en pointillé sur
la figure.
4. La trajectoire physique de l’objet correspond à la branche illustré à gauche, celle qui concave
par rapport à l’origine et qui correspond donc à une force attractive.
5. Le point le plus rapproché de l’origine est obtenu quand ϕ = 0, et est situé à une distance
r p = r 0 /(1 + e).
6. Comme dans le cas elliptique, définissons un autre point, F ′ , situé à une distance 2c à droite de
l’origine F, où c = ae et où a est cette fois défini par l’expression
a = r 0
e 2 − 1
=⇒ r 0 = a(e 2 − 1) (8.46)
Reprenons les calculs effectués dans le cas elliptiques, avec les modifications appropriées. La
loi des cosinus est encore appliquée, mais l’angle entre les deux côtés connus est ϕ et non plus
π − ϕ :
r ′2 = r 2 + 4c 2 − 4rc cos ϕ (8.47)
Comme l’équation (8.39) peut aussi s’écrire er cos ϕ = a(e 2 −1)−r dans ce cas, on peut éliminer
ϕ de l’équation ci-haut :
r ′2 = r 2 + 4e 2 a 2 − 4a ( a(e 2 − 1) − r ) (8.48)
(nous avons substitué c = ae). En simplifiant, on trouve
La racine carrée nous donne
r ′2 = r 2 + 4a 2 + 4ar = (r + 2a) 2 (8.49)
r ′ = 2a + r =⇒ r ′ − r = 2a (8.50)
Ceci démontre donc la propriété que la différence des distances aux deux foyers est une constante,
égale à 2a. C’est une propriété reconnue de l’hyperbole
Enfin, le cas e = 1 correspond à une parabole. Cette correspondance sera démontrée plus bas, lors
de la comparaison avec les équations cartésiennes des mêmes courbes.
Correspondance avec les coordonnées cartésiennes
Une autre façon de démontrer que l’Éq. (8.38) décrit bien une ellipse, une parabole ou une hyperbole
est de comparer cette équation à l’expression plus connue de ces courbes en coordonnées
cartésiennes. À cette fin, récrivons cette équation comme r = r 0 − re cos ϕ et substituons les
coordonnées cartésiennes x = r cos ϕ et y = r sin ϕ:
r = r 0 − ex =⇒ r 2 = x 2 + y 2 = r 2 0 + e2 x 2 − 2r 0 ex (8.51)
ou encore
x 2 (1 − e 2 ) + 2r 0 ex + y 2 = r 2 0 (8.52)
Complétons le carré de l’expression en x :
(
(1 − e 2 ) x + er ) 2
0
1 − e 2 + y 2 = r0 2 + e2
1 − e 2 r2 0 = r2 0
1 − e 2 (8.53)
Définissons maintenant la coordonnées x ′ obtenue de x par une translation de l’origine :
x ′ = x + c c = er 0
1 − e 2 (8.54)