Document de cours de référence

8. Mouvement dans un champ de force central 113
Cette équation peut être résolue pour s en fonction de b et v 0 , par la méthode habituelle de
résolution des équations quadratiques. La solution est
s = b√
mv 2 0 b
kZe 2
1 + mv2 0b
kZe 2 − 1 (8.15)
Le signe de la racine carrée a été choisi de manière à produire un résultat positif. Notons que b < s
car nous avons affaire ici à une interaction répulsive (le proton et le noyau ont tous les deux une
charge positive). Notons les limites suivantes :
b → 0 =⇒ s → kZe2
1
2 mv2 0
b → ∞ =⇒ s → b
Dans le premier cas (b → 0), le résultat s’obtient de manière évidente par la seule conservation de
l’énergie. Dans le deuxième cas, (b → ∞), le projectile n’est pratiquement pas dévié par le noyau.
Exemple : section de capture d’une planète
Par le même procédé, on peut déterminer la section de capture d’une planète. Considérons un corps
léger (astéroïde, satellite artificiel, etc.) de masse m en mouvement vers une planète de masse M,
avec un paramètre d’impact b. Le potentiel d’interaction est maintenant U(r) = −GMm/r et
l’Éq. (8.14) peut être immédiatement adaptée à ce cas :
−G Mm
s
= 1 2 mv2 0
La solution (8.15) aussi se transpose facilement :
s = b√
v 2 0 b
GM
(1 − b2
s 2 )
(8.16)
1 + v2 0b
GM + 1 (8.17)
(nous avons simplement procédé au remplacement kZe 2 → −GMm et changé le signe de la racine
carré (un choix de racine de l’équation quadratique) de manière à obtenir un résultat positif. Dans
ce cas, comme l’énergie potentielle est négative, la distance minimale d’approche est plus petite
que le paramètre d’impact : s < b. Pour que l’objet soit capturé par la planète, il suffit que s soit
inférieur au rayon R de cette dernière. On obtient ainsi une condition pour la capture de l’objet
en fonction de sa vitesse et de son paramètre d’impact :
R ≥ b√
v 2 0b
GM
1 + v2 0b
GM + 1 (8.18)
Dans l’équation ci-dessus, l’égalité (s = R) mène à une valeur de b en fonction de R qui permet
de calculer la section géométrique πb 2 à l’intérieure de laquelle tout objet s’écrasera sur la planète
(section de capture). Cependant, on peut plus facilement obtenir cette section de capture à partir
de (8.16) en posant s = R et en isolant b 2 :
πb 2 = 2π GMR
v 2 0
+ πR 2 (8.19)