Document de cours de référence

9 Moment cinétique et rotation des corps
Dans la section 8.1 nous avons introduit la notion de moment cinétique d’une particule. Dans cette
section nous appliquerons cette notion à un système, en particulier à un objet rigide en rotation
autour d’un axe fixe.
9.1 Moment cinétique et centre de masse
Le moment cinétique J d’un système évalué à l’origine est défini comme la somme vectorielle (ou
résultante) des moments cinétiques de toutes les particules composant le système :
J =
N∑
J i =
i=1
N∑
m i r i ∧ v i (9.1)
i=1
Le couple N (ou moment de force) agissant sur un système est de même la somme vectorielle des
couples agissant sur chacune des particules :
N =
N∑
N i =
i=1
N∑
r i ∧ F i (9.2)
i=1
Ces définitions naturelles entraînent que le couple agissant sur un système est encore la dérivée
par rapport au temps du moment cinétique de ce système, car N i = ˙J i pour chaque particule
séparément. Le théorème du moment cinétique est donc encore valable :
N = dJ
dt
(9.3)
Absence de couple interne
Rappelons que la force totale F i exercée sur la i e particule du système est la somme d’une force
F ext.
i extérieure au système et des forces F ij exercées par les autres particules du système :
F i = F ext.
i
+ F int.
i
F int.
i
= ∑
j (j≠i)
F ij (9.4)
Le couple N exercé sur le système est donc la somme de deux contributions : l’une (N ext. ) attribuable
aux seules forces externes et l’autre (N int. ) aux seules forces internes :
N ext. =
N int. =
N∑
i=1
N∑
i=1
r i ∧ F ext.
i
r i ∧ F int.
i
(9.5)
Or, on montre facilement que le couple interne est nul, en supposant que la force mutuelle F ij entre
deux particules est centrale, c’est-à-dire s’exerce suivant la droite qui relie les deux particules :
F ij ∧ (r i − r j ) = 0 (9.6)