Document de cours de référence

5 Applications des lois du mouvement
Dans cette section nous appliquons la deuxième loi de Newton au mouvement de particules dans
des champs de forces particuliers, mais sans utiliser les principes de conservation (énergie, moment
cinétique) qui seront étudiés plus loin dans ce chapitre.
Rappelons qu’on suppose généralement ici que les forces exercées sur une particule ne dépendent
que de sa position et de sa vitesse, ce qui revient à dire que les objets qui causent ces forces sont
stationnaires. Cette hypothèse nous évite d’avoir à considérer simultanément le mouvement des
autres objets. La deuxième loi de Newton prend alors la forme
ou, si on l’exprime en composantes,
F(r, v) = m d2 r
dt 2 (5.1)
mẍ = F x (x, y, z, ẋ, ẏ, ż)
mÿ = F y (x, y, z, ẋ, ẏ, ż)
m¨z = F z (x, y, z, ẋ, ẏ, ż)
(5.2)
Il s’agit donc d’un système de trois équations différentielles couplées (on suppose que l’on connaît
explicitement les trois fonctions F x , F y et F z . Ces équations différentielles sont appelées équations
du mouvement.
Remarques :
1. On a supposé ici que la force dépend de la vitesse de la particule comme de sa position. La
dépendance en la vitesse peut survenir notamment dans le cas d’un champ magnétique, d’une
force de Coriolis (cf. sction 10) ou de la résistance de l’air ou d’un autre milieu.
2. Les équations du mouvement (5.2) sont du deuxième ordre en dérivées. Cela signifie que leur
résolution demande que l’on spécifie des conditions initiales suffisantes, en l’occurrence la position
initiale et la vitesse initiale de la particule. Une fois ces quantités spécifiées, l’avenir de cette
particule est tout tracé car la solution aux équations (5.2) est alors entièrement déterminée,
comme le stipule le théorème d’unicité des solutions des équations différentielles. 1 C’est la manifestation
la plus simple du déterminisme classique..
3. Le fait que la solution des équations (5.2) existe ne veut pas dire qu’elle puisse être exprimée
analytiquement. En fait, le nombre de problèmes ayant une solution analytique complète, c’està-dire
une expression explicite de la fonction r(t), est très petit. Même le problème de Kepler,
celui du mouvement d’une particule dans un champ de gravité en 1/r 2 , n’admet pas de solution
explicite pour la position en fonction du temps. Cependant, il est en général simple de résoudre
ces équations si diverses contraintes (mécaniques ou autre) font qu’une seule coordonnée varie
dans le temps. Le problème est alors effectivement unidimensionnel.
4. L’absence de solution analytique n’empêche pas le calcul numérique de la solution des équations
(5.2). Pour une seule particule (ou un petit nombre de particules), ce problème est numériquement
simple, sauf que la précision des solutions obtenues se dégrade progressivement au cours du
temps. La contemplation des solutions numériques a non seulement l’avantage de favoriser
l’intuition du problème, mais permet aussi de poser des diagnostics sur la nature chaotique ou
non du mouvement.
1 Les conditions d’application de ce théorème sont en pratique toujours réunies dans les situations physiques,
car le contraire impliquerait des forces infinies.