Document de cours de référence

110 8. Mouvement dans un champ de force central
O
r
⊥
+
r
v ⊥
v
Figure 8.1. La grandeur du moment cinétique est donnée par rv ⊥ (la distance de l’origine à la particule,
multipliée par la composante de v perpendiculaire au vecteur position) ou par r ⊥ v (la distance de
l’origine jusqu’à la droite qui prolonge le vecteur vitesse, multipliée par la grandeur de la vitesse).
Signalons une autre façon d’exprimer le moment cinétique (ou tout autre moment). Le vecteur
position r d’une particule peut toujours être décomposé comme r = r ⊥ + r ‖ , où r ⊥ est un vecteur
perpendiculaire à v et r ‖ un vecteur parallèle à v. Comme r ‖ ∧ v = 0, le moment cinétique peut
s’exprimer simplement comme J = mr ⊥ ∧v ou, en grandeur, J = mr ⊥ v. Autrement dit, la grandeur
du moment cinétique est le produit de la masse par la vitesse, par la distance entre l’origine et la
droite qui prolonge le vecteur-vitesse (fig. 8.1).
Conservation du moment cinétique
La notion de moment cinétique est utile parce que cette quantité est conservée dans certaines
circonstances. En particulier, lorsque la force qui s’exerce sur une particule est centrale, c’està-dire
dirigée vers l’origine ou dans la direction opposée à l’origine, le moment cinétique de la
particule évalué à l’origine est conservé (c’est-à-dire constant dans le temps). En effet, le couple
exercé par la force centrale est nul : N = r ∧ F = 0 car F est parallèle à r, et donc ˙J = N = 0.
La première conséquence de la conservation du moment cinétique J est que le mouvement de la
particule est entièrement compris dans le plan perpendiculaire à J. En effet, r est par définition
perpendiculaire à J et la condition r · J = 0 définit bel et bien un plan. Bien sûr, comme v · J = 0,
la vitesse v appartient au même plan. On peut librement choisir un système d’axes tel que ce plan
soit le plan xy et utiliser les coordonnées sphériques r et ϕ. 1 En fonction de ces coordonnées, la
position et la vitesse de la particule sont
Le moment cinétique a donc l’expression suivante :
r = rˆr et v = ṙˆr + r ˙ϕ ˆϕ (8.7)
J = mr ∧ v = mr 2 ˙ϕ ẑ (8.8)
Loi des aires
Une autre conséquence de la conservation du moment cinétique est la deuxième loi de Kepler, dite
loi des aires: l’aire balayée par unité de temps à partir de l’origine par le rayon vecteur d’un objet
– la vitesse aréolaire – est constante. Autrement dit, en se référant à la trajectoire elliptique de la
figure 8.2, si le temps requis pour aller du point A au point B est le même que pour aller du point
C au point D, alors les aires des deux régions ombrées (AFB et CFD) sont les mêmes. Cette loi
se démontre de la manière suivante : supposons que l’objet est au point r au temps t et au point
r + dr au temps t + dt. L’aire dS balayée par le rayon vecteur de la particule pendant cet intervalle
1 Notons que le plan xy coïncide avec le plan θ = π/2 et que sur ce plan, les coordonnées cylindriques (ρ, ϕ)
et sphériques (r, ϕ) coïncident.