Document de cours de référence

130 8. Mouvement dans un champ de force central
où on a introduit la constante
γ = Rv2 0
GM
Indice : il n’est pas nécessaire d’utiliser ici les propriétés précises de la trajectoire elliptique. Il suffit d’appliquer
la conservation simultanée de l’énergie E et du moment cinétique J (la composante du moment cinétique qui
sort de la page). Il faut donc calculer E et J au point de départ et au point le plus haut de la trajectoire, en
notant que la vitesse à cet endroit est perpendiculaire au vecteur position. Ceci nous donne deux équations
de conservation, nous permettant de déterminer deux variables, comme la vitesse v de l’objet au sommet de
sa trajectoire et l’altitude h.
b) Que donne cette formule quand ψ = 0 et ψ = π/2? Dans le premier cas, il ne faut pas bêtement poser ψ = 0,
mais prendre la limite appropriée. Auriez-vous pu obtenir ces résultats particuliers autrement? Supposez que
γ < 1.
c) Supposons maintenant que la vitesse v 0 est petite, de sorte que le paramètre γ est très petit. Procédez à
un développement de Taylor au deuxième ordre en γ dans l’expression (8.79). Vérifiez que le résultat coïncide
avec ce qu’on aurait obtenu en supposant le champ gravitationnel g uniforme.
N.B. La formule du binôme est
(1 + ε) r = 1 + rε + 1 2 r(r − 1)ε2 + 1 6 r(r − 1)(r − 2)ε3 + · · ·
Problème 8.14
Supposons qu’un objet soit principalement soumis à une force centrale attractive en k/r 2 , comme la gravité,
mais qu’une force centrale additionnelle (mais petite) de la forme
F = α r 3 ˆr
α = constante
soit aussi ressentie (une telle force est qualifiée de perturbation si elle n’est pas trop grande).
a) Démontrez que la trajectoire de l’objet a la forme suivante :
r(ϕ) =
γ 2 r 0
1 + e cos(γϕ)
(8.80)
où
γ =
√
√
1 + αm
J 2 e = 1 − γ2 E
E 0
r 0 et E 0 étant les mêmes que dans les notes.
b) Comme la perturbation est faible (α petit), le paramètre γ est proche de l’unité. Expliquez pourquoi la
courbe (8.80) correspond à une ellipse en précession, c’est-à-dire dont l’orientation change dans le temps.
Indices : vous devez essentiellement reprendre le calcul du début de la section 8.3 des notes de cours, en y
ajoutant l’énergie potentielle associée à la perturbation. Cette énergie potentielle a la même dépendance en r
que le potentiel centrifuge associé au moment cinétique.