Document de cours de référence

5. Applications des lois du mouvement 63
x
E
y
B
Figure 5.9. Cycloïde suivie par une charge placée dans des champs électrique et magnétique croisés
(E = Eˆx et B = Bẑ).
Problème 5.2
Une particule de masse m est soumise à une force sinusoïdale :
F = C sin(ωt) ˆx
a) Déduisez une expression pour la position r(t) de la particule en fonction du temps et en fonction de sa
vitesse initiale (à t = 0) v 0 et de sa position initiale r 0 .
b) Faites un graphique de x(t) en supposant que v 0 = 0 et r 0 = 0.
Problème 5.3
Un type d’accélérateur de particules chargées fonctionne de la manière suivante : un champ électrique alternatif
est appliqué dans une longue cavité et accélère les électrons qui y pénètrent par une extrémité. Comme le
champ change de direction deux fois par période, il ne peut pas accélérer les particules toujours dans la même
direction! Pour remédier à ce problème, on aménage des cavités plus petites à l’intérieur de la cavité principale.
Le rôle de ces petites cavités est d’écranter le champ électrique quand il est dans la mauvaise direction : lorsque
les particules pénètrent dans ces petites cavités, aucune force ne s’exerce sur elles; lorsqu’elles en ressortent,
le champ électrique est de nouveau dans la bonne direction pour les accélérer (voir la figure ci-dessous). Pour
que cela fonctionne, il faut placer les petites cavités aux bons endroits et leur donner la bonne longueur.
Supposons qu’on place N petites cavités, de longueurs L i (i = 1, 2, . . . , N), aux positions x i . Pour simplifier,
supposons aussi que le champ électrique E = Eˆx est uniforme et qu’il se retourne brusquement au bout d’une
demi-période T , comme si sa dépendance temporelle était celle d’une onde carrée. Cette force donne aux
particules une accélération constante a = aˆx lorsqu’elles ne sont pas dans les cavités. À l’intérieur de la ie
cavité, la vitesse v i des particules est constante.
entréedes
particules
L 1 L 2 L 3 L 4
etc...
a
0 x 1 x 2 x 3 x 4
Problème 5.3
Trouvez une relation de récurrence permettant de calculer x i , L i et v i en fonction de x i−1 , L i−1 et v i−1 . Cette
relation permet de déterminer les positions et longueurs de toutes les cavités, en supposant que les particules
ont une vitesse pratiquement nulle quand elles pénètrent dans l’accélérateur.