Document de cours de référence

9. Moment cinétique et rotation des corps 141
de ces anneaux a une largeur dr et possède une masse 2πσrdr, où σ est la densité superficielle
(constante) du disque. Le moment d’inertie de l’anneau de rayon r est donc dI = 2πσr 3 dr et le
moment d’inertie total est
I =
∫ R
0
dr 2πσr 3 = 1 2 πσR4 = 1 2 MR2 (M = πR 2 σ) (9.37)
Remarques :
1. Cette expression vaut aussi pour un cylindre de hauteur h. En fait, la distribution de la masse en
fonction de la coordonnée z parallèle à l’axe de calcul peut être quelconque, car cette coordonnée
n’intervient pas dans le calcul du moment d’inertie.
2. Le principe de superposition permet de calculer le moment d’inertie d’un objet pouvant être
considéré comme la ‘différence’ de deux objets. Par exemple, un cylindre creux de rayon intérieur
a et de rayon extérieur b peut être considéré comme un cylindre plein de rayon b duquel on a
soustrait un cylindre plein de rayon a < b. Le moment d’inertie d’un tel objet est alors
I = 1 2 πσ(b4 − a 4 ) = 1 2 πσ(b2 − a 2 )(b 2 + a 2 ) = 1 2 M(b2 + a 2 ) (9.38)
Moment d’inertie d’une sphère
Comme troisième exemple, considérons une sphère pleine de rayon R et de masse M (fig. 9.3C).
On peut diviser cette sphère en une série de disques superposés. Un disque situé à une hauteur z
par rapport au centre (z va de −R à R) possède une épaisseur dz, un rayon r = √ R 2 − z 2 et une
masse dM = µπr 2 dz où µ est la densité volumique (constante) de la sphère. Le moment d’inertie
de chaque disque est
dI = 1 2 dMr2 = 1 2 µπr4 dz = 1 2 µπ(R2 − z 2 ) 2 dz (9.39)
et le moment d’inertie total est obtenu en intégrant sur z de −R à R:
I = 1 2 µπ ∫ R
−R
dz (R 2 − z 2 ) 2 = µπ 8
15 R5 = 2 5 MR2 (M = 4 3 πR3 µ) (9.40)
Moment d’inertie d’une tige
Comme dernier exemple, considérons une tige de longueur L et de masse M (fig. 9.3D). On subdivise
cette tige en parcelles de longueur dx et de masse λdx, λ étant la densité linéaire (ou masse par
unité de longueur) de la tige. Chaque parcelle possède un moment d’inertie dI = λx 2 dx, où x est
la distance par rapport à l’axe. Le moment d’inertie total est
I =
∫ L/2
−L/2
dx λx 2 = 1
12 λL3 = 1
12 ML2 (9.41)
Théorème de Huygens
Le théorème de Huygens (aussi appelé théorème de l’axe parallèle) facilite grandement le calcul
du moment d’inertie par rapport à un axe quelconque. Soit I 0 le moment d’inertie par rapport à un
axe passant par le centre de masse et I le moment d’inertie par rapport à un autre axe, parallèle
au premier et à une distance d de celui-ci. Alors ce théorème stipule que
I = I 0 + Md 2 (9.42)
La preuve en est simple. Soient R cm la position du centre de masse par rapport à l’axe de rotation,
ρ i la position de la i e particule de l’objet par rapport à l’axe qui nous intéresse et ρ ′ i la position