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9. Moment cinétique et rotation des corps 133
Partant de cette hypothèse, la démonstration est simple :
N int. =
N∑
i=1
∑
j (j≠i)
r i ∧ F ij
= ∑ i≠j
= ∑ i≠j
r i ∧ F ij
r j ∧ F ji
(9.7)
= 1 2
∑
(r i − r j ) ∧ F ij = 0
i≠j
(la dernière équation s’obtient en prenant la moyenne des deux équations précédentes et en tenant
compte du fait que F ji = −F ij ). Il s’ensuit que la dérivée temporelle du moment cinétique n’est
attribuable qu’aux forces externes :
dJ
dt = Next. = N (9.8)
Ce résultat porte le nom de théorème du moment cinétique. Il serait tout-à-fait bizarre qu’une
force d’interaction F ij ne soit pas centrale, c’est-à-dire ne respecte pas la condition (9.6). Cela
laisserait la porte ouverte à des systèmes qui, sans toutefois pouvoir accélérer spontanément dans
un mouvement linéaire (la troisième loi de Newton étant tout de même respectée), pourraient
accélérer spontanément dans un mouvement de rotation, sans l’aide d’un couple externe! Cela
violerait de toute façon le principe de la conservation de l’énergie.
Second théorème de Koenig
Bien sûr, le moment cinétique et le couple dépendent du point auquel ils sont évalués, ainsi que du
référentiel dans lequel ils sont calculés. En particulier, on peut considérer le moment cinétique d’un
objet par rapport à son centre de masse, c’est-à-dire qu’on peut se placer dans le référentiel du
centre de masse de l’objet et adopter de plus le centre de masse comme origine dans ce référentiel.
Le moment cinétique ainsi calculé est qualifié d’intrinsèque à l’objet, et sera noté J cm dans ce qui
suit.
Le second théorème de Koenig stipule que le moment cinétique total J d’un objet, dans un
référentiel quelconque et en un point quelconque, peut être décomposé de la manière suivante :
J = J cm + R cm ∧ P tot. (9.9)
Autrement dit, le moment cinétique est la somme du moment cinétique intrinsèque et d’une contribution
R cm ∧ P tot. , appelée moment cinétique orbital, qui serait le moment cinétique du système
si toute la masse de celui-ci était concentrée en son centre de masse. 1 Notons que, comme dans le
cas du premier théorème de Koenig, le référentiel du centre de masse n’a pas besoin d’être inertiel
pour que le théorème s’applique : il peut être accéléré.
Démontrons ce théorème. Considérons un point r 0 en mouvement et le référentiel S ′ attaché à
ce point. Ce référentiel peut en général être accéléré, c’est-à-dire non inertiel. La position d’une
1 Le parallèle avec le premier théorème de Koenig est évident : dans ce cas, l’énergie cinétique est la somme
de l’énergie cinétique calculée dans le référentiel du centre de masse et de l’énergie cinétique associée au
mouvement du centre de masse, comme si toute la masse du système y était concentrée.