Document de cours de référence

4. Les forces macroscopiques 43
où la grandeur F (v) de la force contient des termes en v et en v 2 , respectivement associés à la
viscosité et à la traînée :
F (v) = Av + Bv 2 (v > 0) (4.8)
Par exemple, pour un objet sphérique se déplaçant dans l’air (TPN), on trouve approximativement
que A = 1, 55 × 10 −4 D et B = 0, 22D 2 , en unités SI, où D est le diamètre de la sphère (en
mètres). Pour des objets lents, le terme linéaire est plus important, alors que le terme quadratique
domine pour des objets rapides. Pour un fluide visqueux (surtout des liquides) le terme linéaire est
généralement le plus important.
4.3 Pression et principe d’Archimède
Un fluide est par définition un état de la matière dans lequel les molécules ne sont pas liées
rigidement à leurs voisines et peuvent se déplacer par rapport à ces dernières. Dans un gaz, les
molécules sont très éloignées les unes des autres et n’interagissent que rarement entre elles, lors
de collisions. Dans un liquide, au contraire, les molécules sont très rapprochées et en interaction
constante.
Il n’est pas réaliste de prétendre étudier le mouvement détaillé de chaque molécule d’un fluide, car
ce problème est trop complexe et sa résolution n’apporterait probablement pas d’information utile.
On s’intéresse plutôt au mouvement moyen de parcelles mésoscopiques du fluide qu’on appelle
éléments. Un élément de fluide peu avoir seulement 10 −8 m de côté et pourtant contenir des milliers
de molécules; c’est le mouvement de ces éléments qui est l’objet de la mécanique des fluides. 3
On peut caractériser un fluide par sa densité ρ(r), qui est la masse de fluide par unité de volume
et qui peut généralement dépendre de la position, par la vitesse v(r) de l’élément de fluide à la
position r et par la pression P (r), qui est la force par unité de surface exercée sur un élément
de fluide à la position r par le fluide environnant. Dans un fluide, cette force est la même dans
toutes les directions. Un fluide est dit statique (ou en équilibre) quand ses éléments sont au repos,
c’est-à-dire si v(r) ≡ 0.
Un fluide est qualifié d’incompressible si sa densité est pratiquement indépendante de la pression.
L’eau liquide est un exemple de fluide incompressible. Au contraire, l’air est un fluide compressible,
car sa densité est approximativement proportionnelle à la pression, à température constante.
Variation de la pression en fonction de la hauteur
La pression d’un fluide est fonction de divers facteurs, principalement de la position du fluide dans
le champ de gravité, de la température et de la vitesse du fluide. Voyons comment la pression à
l’intérieur d’une masse d’eau (par exemple un lac, la mer, etc.) ou d’une masse d’air dépend de
la profondeur. Considérons pour cela un élément de fluide d’épaisseur dh et de surface horizontale
dA à une profondeur h au-dessous de la surface (cf. Fig. 4.1). Le volume de cet élément est
dV = dh × dA et donc la force de gravité agissant sur lui est −dm gẑ = −ρgdhdA ẑ. La force
exercée par la pression du fluide sur la face supérieure de l’élément est −P (h)dA ẑ, alors que celle
exercée sur la face inférieure de l’élément est P (h + dh)dA ẑ. En équilibrant ces trois forces, on
trouve
P (h + dh) − P (h)
[P (h + dh) − P (h)] dA = ρgdhdA =⇒ = ρg (4.9)
dh
3 Il ne faut pas supposer qu’un élément du fluide dont on étudie le mouvement comporte toujours les mêmes
molécules : celles-ci peuvent diffuser d’un élément à un autre et cette diffusion ne constitue pas un mouvement
du fluide comme tel. Un élément du fluide ne constitue donc pas un système mécanique fermé à long terme,
mais seulement à court terme.