Document de cours de référence

104 7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement
Cependant, cette équation découle d’une manipulation formelle injustifiée et n’est pas valable,
même si elle jouit d’une ressemblance superficielle avec la relation correcte, qui serait plutôt
F = ma − v 0
dm
dt , (7.51)
où v 0 est la vitesse d’éjection de la masse par rapport à l’objet et F est la force externe appliquée.
Cette dernière relation est simplement une version vectorielle de la relation (7.46) où la force de
gravité a été remplacée par une force externe quelconque. La relation (7.51) est plus générale et
peut être appliquée au cas d’un apport de masse comme au cas d’une diminution de la masse.
Le collecte-poussière interplanétaire
Considérons comme dernier exemple celui d’un objet sans propulsion se déplaçant dans l’espace et
collectant une certaine quantité de poussière appartenant à un nuage interplanétaire. Plaçons-nous
dans le référentiel du nuage, dans lequel la poussière est au repos. Soit ρ la densité du nuage (masse
par unité de volume), supposée uniforme, et A la section de l’objet en mouvement. On supposera
que l’objet qui évolue dans ce nuage capture toute la poussière se trouvant sur son chemin, comme
lors d’une collision maximalement inélastique. La question est de savoir comment la vitesse de
l’objet varie dans le temps, s’il possède une vitesse initiale v 0 en entrant dans le nuage. Comme il
est clair que le mouvement de l’objet sera unidimensionnel, nous pouvons encore nous dispenser
de la notation vectorielle dans cet exemple.
À un instant donné, la vitesse de l’objet est v (par rapport au nuage) et il parcourt une distance
vdt pendant un temps dt. Il balaie donc un volume Avdt pendant ce temps et capture une masse
ρAvdt, se déplaçant à une vitesse relative −v. En appliquant la relation (7.51) à ce cas, avec
dm/dt = ρAv, v 0 → −v et F = 0, on trouve
0 = ma + v(ρAv) ou
Cette relation s’intègre immédiatement pour donner
dv
dt = −ρA m v2 =⇒ dv
v 2 = −ρA dt (7.52)
m
1
v = ρA t + cst. (7.53)
m
En posant que t = 0 quand v = v 0 , on détermine la constante d’intégration :
1
v = ρAt
m + 1 v 0
=⇒ v =
Comme on s’y attend, la vitesse tend vers zéro quant t → ∞.
v 0
1 + ρA m v 0 t (7.54)
7.4 * Invariance par translation et conservation de la quantité de
mouvement
Dans cette section, nous allons montrer comment la conservation de la quantité de mouvement
d’un système isolée peut être vue comme une conséquence d’un principe de symétrie : l’invariance
par translation.
Soit U(r 1 , r 2 , . . . , r N ) l’énergie potentielle de N particules en interaction. Si les N particules forment
un système isolé, alors l’énergie potentielle ne dépend que de la position de ces particules et non
de la position d’un quelconque objet externe qui pourrait exercer une force sur les particules du