Document de cours de référence

54 5. Applications des lois du mouvement
Dans le but de calculer T (ϕ 0 ), retournons à l’Éq. (5.16) et ne procédons pas à l’approximation
des petits angles. Elle peut se résoudre de la manière suivante. Premièrement, multiplions chaque
membre de l’équation par ˙ϕ:
˙ϕ ¨ϕ + ω 2 ˙ϕ sin ϕ = 0 (5.24)
Le premier terme n’est autre que 1 2 d( ˙ϕ2 )/dt et le second −d(cos ϕ)/dt (nous avons employé ici la
méthode du facteur intégrant). Donc
d { 1
dt
2 ˙ϕ2 − ω 2 cos ϕ } = 0 (5.25)
Ceci signifie que l’expression entre accolades est une constante; cette constante peut être fixée en se
reportant au moment où le pendule rebrousse chemin, à un angle ϕ 0 (l’amplitude de l’oscillation) :
On peut également écrire cette relation ainsi :
d’où l’intégration immédiate :
1
2 ˙ϕ2 = ω 2 (cos ϕ − cos ϕ 0 ) (5.26)
dϕ
dt =
ω √ 2(cos ϕ − cos ϕ 0 )
(5.27)
t = 1 ω
∫ ϕ
0
du
√
2(cos u − cos ϕ0 )
(5.28)
(on a supposé ici que le pendule est à la verticale (ϕ = 0) à t = 0). Remarquons que la méthode du
facteur intégrant est en fait strictement équivalente à l’utilisation de la conservation de l’énergie,
étudiée à la section 6.
En particulier, le temps requis par le pendule pour atteindre sa hauteur maximale (le quart de la
période T ) est
T = 2T ∫ ϕ0
(
0
du
√ T
π
0 = 2π )
(5.29)
2(cos u − cos ϕ0 )
ω
0
T
3.5
T 0 3
2.5
2
1.5
1
0.5
0.2 0.4 0.6 0.8 ϕ 1 0
π
Figure 5.3. Période du pendule simple en fonction de l’amplitude de l’oscillation.