Document de cours de référence

5. Applications des lois du mouvement 53
0
m
x
z 0
0
z
m
−k(z-z 0
)
−mg
Figure 5.2. Système masse-ressort (horizontal et vertical).
Analogie avec un système masse-ressort
Le mouvement du pendule dans l’approximation des petits angles est analogue à celui d’une masse
attachée à un ressort qui suit la loi de Hooke. Supposons en effet qu’un tel ressort soit fixé à un
mur et que la masse puisse glisser sans frottement sur une surface horizontale, de sorte que la
seule force agissant sur la masse est la force de rappel du ressort. Plaçons l’origine à la position
d’équilibre du ressort, de sorte que la force exercée par le ressort sur la masse lorsqu’elle est située
à une position x soit −kx (le problème et la notation sont unidimensionnels et un signe négatif
signifie ici que la force est dirigée vers la gauche si x est positif et vice-vera). La deuxième loi de
Newton, ou l’équation du mouvement, est ici
mẍ = −kx ou ẍ + ω 2 x = 0 ω ≡
√
k
m
(5.22)
L’équation (et sa solution) est la même que dans le problème du pendule dans l’approximation des
petits angles. Donc la solution générale est encore
x(t) = A sin(ωt + ξ) (5.23)
Le problème est à peine différent si le pendule est suspendu au plafond et que la masse est en
mouvement d’oscillation vertical, sous l’influence combinée du ressort et de la gravité. Dans ce cas,
il est pratique de placer l’origine des coordonnées à la position d’équilibre de la masse, c’est-à-dire
à l’endroit où la force de rappel du ressort compense exactement la force de gravité exercée sur la
masse. Si z 0 désigne la position à l’équilibre du ressort en l’absence de gravité, la force exercée par
le ressort à la nouvelle position d’équilibre (en présence de gravité) est kz 0 = mg (cette force est
positive, car dirigée vers le haut). La force totale ressentie par la masse à une position z quelconque
est F = −k(z − z 0 ) − mg = −kz, car kz 0 − mg = 0. L’équation du mouvement est alors m¨z = −kz,
la même qu’on aurait en l’absence de gravité, mais avec une position d’équilibre située à l’origine.
Période pour des amplitudes arbitraires
La période d’oscillation d’un pendule simple n’est indépendante de l’amplitude que si l’amplitude
est suffisamment petite. Lorsque l’amplitude augmente, la période s’allonge progressivement. Remarquons
par exemple que si le pendule est placé à la verticale, sur sa tige (ϕ = π), il ne retombe
que si sa vitesse est non nulle par suite d’une légère perturbation (on dit qu’il est en équilibre instable
dans cette position). Donc la période associée à l’amplitude ϕ 0 = π est infinie. On présume
que la période T (ϕ 0 ) est une fonction de l’amplitude ϕ 0 qui vaut T 0 = 2π/ω quand ϕ 0 → 0 (la
période pour les petites oscillations) et augmente ensuite avec ϕ 0 pour tendre vers l’infini quand
ϕ 0 → π.