Document de cours de référence

7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement 103
une masse −dm de carburant et sa vitesse au temps t + dt sera v + dv. Nous avons adopté la
convention que dm < 0 afin de pouvoir considérer dm comme la différentielle de la masse de la
fusée et non du carburant brûlé. La conservation de l’impulsion pour l’ensemble du système (fusée
plus carburant) se lit alors
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v − v 0 ) (7.42)
En négligeant dans cette équation les termes du deuxième ordre (dm dv), on trouve
0 = mdv + v 0 dm ou dv = −v 0
dm
m
En intégrant cette relation entre v = 0 et v f , on trouve
∫ vf
0
dv = v f = −v 0
∫ mf
m i
(7.43)
dm
m = v 0 ln m i
m f
(7.44)
ce qui est la relation cherchée. Notons que la vitesse finale de la fusée ne dépend que de la vitesse
d’échappement v 0 et du rapport des masses initiale et finale; elle ne dépend pas du taux précis
d’échappement. Pour maximiser v f , on a donc intérêt à éjecter le carburant à la plus grande vitesse
possible, sans toutefois avoir besoin de le faire le plus rapidement possible dans le temps.
Supposons maintenant que la fusée est dans un champ gravitationnel constant, comme lors d’un
décollage à partir de la Terre. L’impulsion du système fusée-carburant n’est plus conservée, mais
change de −mgdt dans un temps dt, en supposant que la gravité tire vers le bas (direction négative
de l’axe). L’équation (7.42) doit alors être modifiée de la façon suivante :
mv − mgdt = (m + dm)(v + dv) − dm(v − v 0 ) (7.45)
Il s’ensuit que
m dv
dt = −mg − v dm
0
(7.46)
dt
Le deuxième terme de droite a la forme d’une force dirigée vers le haut (n’oublions pas que dm/dt <
0). On l’appelle force de poussée. C’est une expression commode, mais en fait il ne s’agit pas d’une
force externe agissant sur un système bien défini. Il s’agit plutôt de la réaction du carburant éjecté
sur le reste de la fusée. En isolant dv, on trouve
dv = −gdt − v 0
dm (7.47)
m
En intégrant entre les temps t = 0 (instant du décollage) et le temps t f , auquel la fusée a une
vitesse v f , on trouve
v f = −gt f + v 0 ln m i
m f
(7.48)
On conclut de cette relation que, pour maximiser la vitesse finale de la fusée, il faut non seulement
maximiser la vitesse d’échappement du carburant, mais aussi le brûler le plus vite possible, car
plus t f est grand, plus v f est petit. Pour que la fusée décolle, il faut aussi que la force de poussée
soit supérieure à la force de gravité:
−v 0
dm
dt > m i g (7.49)
Il peut être tentant de chercher un court-circuit à la démonstration ci-haut en appliquant la
deuxième loi de Newton à la lettre sur un objet à masse variable :
F = d dm
(mv) = ma +
dt dt v (7.50)