Document de cours de référence

102 7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement
m
m 1
m 1
θ
*
1
θ 2
*
θ m 2
m 2
u 2
u 1
θ
Laboratoire
Centre de masse
Figure 7.6. Définition des angles dans un processus de désintégration, dans le référentiel du laboratoire
et celui du centre de masse.
par rapport à cet axe, et l’angle θ qu’elles font avec le même axe dans le repère du centre de masse.
On peut reprendre ici le calcul fait plus haut dans le cas d’une collision élastique, sauf que la
notation est légèrement différente : v 1 et v 2 désignent les vitesses des fragments dans le repère du
laboratoire, et u 1 et u 2 les mêmes dans le repère du centre de masse. On trouve
tan θ 1 = v 1y
v 1x
=
et de même (θ 2 étant défini positif vers le bas)
u 1y
u 1x + V =
u 2y
tan θ 2 = − v 2y
= −
v 2x u 2x + V =
u 1 sin θ
u 1 cos θ + V
u 2 sin θ
−u 2 cos θ + V
(7.38)
(7.39)
Les grandeurs u 1 et u 2 se trouvent en fonction de l’énergie relâchée ∆; comme m 1 u 1 + m 2 u 2 = 0,
on a u 2 = (m 1 /m 2 )u 2 et
(
∆ = 1 2 m 1 u2 1 + 1 2 m 2 u2 2 = 1 2 m 1 1 + m )
1
u 2 1 (7.40)
m 2
ce qui nous permet d’exprimer u 1 et u 2 en fonction de ∆.
7.3 Fusées et objets à masse variable
Étudions maintenant le mouvement d’une fusée. La fusée est propulsée par la combustion de
carburant dont les produits sont éjectés à grande vitesse par la tuyère du moteur. Considérons
premièrement une fusée dans l’espace intersidéral, libre de toute influence gravitationnelle. Le
système isolé dont la quantité de mouvement est conservée comprend alors la fusée et l’ensemble
de son carburant, éjecté ou non. On supposera que le carburant brûlé s’échappe de la fusée à une
vitesse v 0 constante, par rapport à la fusée (on pose, par convenance, que v 0 > 0, même si le
carburant se dirige vers l’arrière de la fusée). On supposera que le mouvement est unidimensionnel.
Soit m i la masse initiale de la fusée, avec tout son carburant, et m f sa masse finale, lorsque tout
le carburant a été brûlé. Nous allons démontrer que si la fusée est initialement au repos, alors la
vitesse finale de la fusée est
v f = v 0 ln m i
m f
(7.41)
Pour démontrer cette relation, considérons la fusée à l’instant t, ayant une vitesse v et une masse
m(t), fonction décroissante du temps (cette masse comprend le carburant non encore brûlé). Au
bout d’un temps dt infinitésimal, la masse de la fusée sera m + dm (dm < 0), la fusée aura éjectée