Document de cours de référence

96 7. Applications de la conservation de la quantité de mouvement
m 1
b
m 2
θ 2
m 1
v′ 1
θ 1
m 2
v′ 2
v 1
avant après
Figure 7.2. Vitesses des particules avant et après une collision, dans le référentiel du laboratoire : la
particule 2 est initialement au repos (v 2 = 0).
u′ 1
m 1
m 1
θ
+
b
+
u θ
2 m 2
m 2
u′ 2
u 1
avant après
Figure 7.3. Vitesses des particules avant et après une collision, dans le référentiel du centre de masse.
contient la quantité de mouvement totale des deux objets. C’est dans ce plan que nous travaillons,
la troisième dimension n’intervenant pas.
Dans le repère du centre de masse, la collision est plus simple (Fig. 7.3). Soit u 1 et u 2 les vitesses
des deux particules avant la collision dans ce référentiel, et u ′ 1 et u′ 2 les vitesses des mêmes objets
après la collision. Comme la quantité de mouvement totale est nulle dans ce repère, on trouve
0 = m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 u ′ 1 + m 2 u′ 2 , de sorte que u 2 est antiparallèle à u 1 , et u′ 2 est antiparallèle
à u ′ 1 . Les deux objets se déplacent donc le long d’un axe commun avant la collision (mais en sens
contraire), et le long d’un autre axe commun après la collision, ces deux axes sous-tendant un angle
θ. L’angle θ est déterminé par le paramètre d’impact ainsi que par la loi de force précise qui relie
les deux objets. Il peut en principe prendre toutes les valeurs entre −π et π.
Par contre, les angles θ 1 et θ 2 ne sont pas nécessairement libres de prendre toutes les valeurs.
Donnons nous comme problème de déterminer l’angle de diffusion θ 1 maximum, en supposant que
m 1 > m 2 . Il est évident que, dans le cas contraire (m 1 < m 2 ) il est toujours possible pour la
particule 1 d’être rétrodiffusée, c’est-à-dire de ‘rebondir’ vers son point de départ. Au contraire, si
m 2 < m 1 , l’angle de diffusion θ 1 ne peut pas excéder un certain maximum (ceci est clair dans la
limite m 1 ≫ m 2 , car un objet massif ne peut pas être beaucoup dévié par un objet léger).
Pour ce faire, le plus simple est d’effectuer une transformation galiléenne vers le référentiel S ′ du
centre de masse. On répète alors facilement les calculs précédents :
v 1 = u 1 + V
v 2 = u 2 + V = 0
v ′ 1 = u ′ 1 + V
v ′ 2 = u ′ 2 + V
V = m 1v 1
m 1 + m 2
(7.13)