Document de cours de référence

8. Mouvement dans un champ de force central 127
Problème 8.3
Un satellite de masse m est en orbite circulaire de rayon r autour de la Terre. Comme son orbite est basse,
la haute atmosphère exerce une force de frottement sur le satellite. Pour simplifier les choses, supposons que
cette force f est constante. Cet exercice vise à démontrer que l’effet de cette force n’est pas de ralentir le
satellite, mais de l’accélérer! On doit supposer ici que f est suffisamment faible de sorte que l’orbite du satellite
est toujours circulaire en première approximation, mais que le rayon r de cette orbite diminue lentement, de
∆r par révolution.
a) Montrez que l’énergie totale du satellite est E = −GMm/2r.
b) Montrez, à l’aide du théorème travail-énergie, que la variation d’énergie totale après une révolution est
∆E = −2πrf et que
∆r = − 4πr3 f
GMm
c) Montrez que la variation d’énergie cinétique est ∆K = +2πrf (le signe est positif).
Problème 8.4
Une fusée est en orbite elliptique autour de la Terre. On désire échapper à l’attraction de la Terre (atteindre
une orbite parabolique) en allumant les moteurs, ce qui produit une différence de vitesse ∆v. À quel point de
l’orbite et dans quelle direction devrait-on produire cette différence de vitesse pour minimiser |∆v| et donc
les coûts en carburant?
Problème 8.5
Un objet de masse m est fixé à l’extrémité d’une corde de masse négligeable.
L’objet est animé d’un mouvement de rotation autour d’un support auquel
la corde est attachée. En (A), la corde s’enroule autour d’un cylindre de
rayon R, alors qu’en (B) elle est tirée par une force externe, via une poulie,
vers le centre du cylindre (on peut imaginer que la poulie est montée sur
un pivot et qu’elle suit l’objet dans sa rotation autour du cylindre). Dans
les deux cas il est pratique de placer l’origine au centre du cylindre. On
peut supposer que le tout est dans l’espace, de sorte que la gravité ne joue
aucun rôle.
a) Dans chaque cas (A et B), une quantité est conservée. Laquelle et
pourquoi?
b) Soit v 0 la vitesse de l’objet autour du cylindre lorsque l’objet est à une distance r 0 du centre (on suppose
r 0 ≫ R). Quelle est, dans chaque cas, la vitesse v de l’objet à la fin de sa rotation, quand il frappe le cylindre?
(A)
v
(B)
m
v
m
Problème 8.6
Reconsidérons le problème du pendule en utilisant la notion de moment
cinétique. Considérez la figure ci-dessous et supposez que le pendule oscille
dans le plan xy.
a) Quel est le moment cinétique du pendule (grandeur et direction) par rapport
au point d’attache, en fonction de ˙ϕ? Notez que ϕ, tel qu’illustré, est
positif.
b) Quel est le couple agissant sur le pendule (évalué au point d’attache) et à
quelle(s) force(s) est-il attribué?
c) Déduisez une équation différentielle pour ϕ dans l’approximation des petites
amplitudes en vous servant de la relation entre le couple et le moment cinétique.
d) Selon vous, le moment cinétique du pendule dépend-il du choix de l’origine dans ce problème?
z
y
x
ϕ
l
m