Document de cours de référence

122 8. Mouvement dans un champ de force central
où T est la période de l’orbite et S est l’aire totale balayée en une période, soit l’aire de l’ellipse
πab. En substituant les valeurs explicites de a et b, on trouve
ou, vu que k = GMm,
T = 2πm
J
r 2 0
(1 − e 2 ) 3/2 = (2π) √ m
k a3/2 (8.62)
T 2 = (2π)2
GM a3 (8.63)
Le point important ici est que, pour une astre central donné, le carré de la période ne dépend que
du demi grand axe a et rien d’autre. Autrement dit, toutes les orbites ayant une valeur fixe de a
ont la même période, quelle que soit leur excentricité.
Énergie, moment cinétique et vitesses
Les paramètres de l’ellipse (le demi grand axe a et l’excentricité e) sont déterminés par l’énergie
totale E et la grandeur J du moment cinétique de l’objet :
e =
√
1 + 2EJ 2
k 2 m
a = r 0
1 − e 2 = J 2 1
km 1 − e 2 = − k
2E
Inversement, nous pouvons exprimer E et J en fonction de a et e :
(8.64)
E = − k 2a
J = √ kma(1 − e 2 ) (8.65)
La vitesse de l’objet se trouve facilement en fonction de sa distance r, car l’énergie totale est
simplement
E = 1 2 mv2 − k et donc v 2 = k ( 2
r
m r a)
− 1 (8.66)
Em fonction de a, l’équation de l’orbite (8.38) s’écrit ainsi :
1 − e 2
r(ϕ) = a
1 + e cos ϕ
(8.67)
Selon cette équation, l’apocentre de l’orbite – le point le plus éloigné du centre d’attraction – se
trouve à ϕ = π, soit à une distance r a = a(1 + e) = a + c. De même, le péricentre – le point le
plus rapproché – se trouve à ϕ = 0, à une distance r p = a(1 − e) = a − c. À ces deux points le
vecteur vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur et donc la grandeur du moment cinétique est
simplement le produit mvr. On obtient donc, pour l’apocentre et le périhélie, respectivement,
√
√
v a =
J k(1 − e)
=
v
mr a ma(1 + e)
p =
J k(1 + e)
=
(8.68)
mr p ma(1 − e)
Bien sûr, ces vitesses peuvent aussi s’obtenir de la relation (8.66). Notons que, dans le cas d’une
orbite autour du Soleil, les termes apocentre et péricentre sont remplacés par aphélie et périhélie,
respectivement. Pour une orbite autour de la Terre, on dit plutôt apogée et périgée