Document de cours de référence

8. Mouvement dans un champ de force central 123
Équation de Kepler
L’équation de l’ellipse nous donne la distance r en fonction de l’angle, mais pas le temps écoulé
depuis le passage au périhélie. Le temps peut s’obtenir à l’aide de l’équation de Kepler, que nous
allons donner ici sans démonstration. On commence par définir l’anomalie excentrique E (notation
standard : ne pas confondre avec l’énergie totale), définie par la relation
tan E 2 = √
1 − e
1 + e tan ϕ 2
(8.69)
Ensuite, le temps t depuis le passage au périhélie (ϕ = 0) est déterminé par la solution de l’équation
transcendante suivante :
t = T (E − e sin E) (8.70)
2π
où T est la période de l’orbite. Remarquons que quand ϕ fait un tour complet (de 0 à 2π), E fait de
même (mais à un rythme différent) et donc t change par T , comme prévu. Dans le jargon, l’angle ϕ
est appelé anomalie vraie et l’angle 2πt/T , qui croît linéairement avec le temps, est appelé anomalie
moyenne. Dans une orbite circulaire, les trois anomalies se confondent, mais elles sont toutes les
trois différentes dans une orbite elliptique (anomalie est simplement un synonyme d’angle dans ce
contexte).
orbite
plan orbital
i
Ω
ω
ϕ
plan équatorial
ligne des noeuds
point vernal
Figure 8.8. Description d’une orbite elliptique dans l’espace.
Éléments d’une orbite
Pour spécifier complètement une orbite dans l’espace, il faut donner non seulement les paramètres
a et e, mais aussi le plan de l’orbite et l’orientation de l’ellipse dans ce plan. La Fig. 8.8 illustre les
paramètres couramment utilisés à cette fin. L’inclinaison i de l’orbite est l’angle entre le plan de
l’orbite et le plan équatorial (le plan de l’orbite terrestre (écliptique) dans le cas d’une planète ou le
plan de l’équateur terrestre dans le cas d’un satellite artificiel de la Terre). La ligne des noeuds est
l’intersection de ces deux plans. La longitude du noeud ascendant Ω est l’angle entre une direction
de référence sur le plan équatorial (le point vernal) et la ligne des noeuds, plus précisément le point
où l’orbite traverse le plan équatorial vers le haut. L’angle ω entre la ligne des noeuds et le périhélie