Document de cours de référence

8. Mouvement dans un champ de force central 115
ce qui est bien l’expression habituelle de la force centrifuge. Ceci justifie le nom de potentiel
centrifuge donné au premier terme de (8.22).
Considérons maintenant le cas d’un potentiel en 1/r, comme le potentiel gravitationnel. L’expression
du potentiel effectif est
U eff. = J 2
2mr 2 − k (8.25)
r
où k = GMm pour le potentiel gravitationnel d’un astre sphérique de masse M agissant sur un
objet de masse m. Ce potentiel est illustré à la figure 8.5. On remarque qu’il possède un minimum
au point r 0 , déterminé par la condition U ′ eff. = 0:
0 = dU eff.
dr
∣ = − J 2
r0
La valeur du potentiel effectif à ce point est
mr 3 0
+ k r 2 0
=⇒ r 0 = J 2
km
(8.26)
U eff. (r 0 ) = − k
2r 0
≡ E 0 (8.27)
U (r)
eff.
U (r)
cent.
r 1
r 0
r 2
r
E
E
0
U(r)
Figure 8.5. Potentiel effectif U eff. d’un objet de moment cinétique J ≠ 0 dans un champ de force en
1/r 2 . Une valeur particulière de J a été choisie et les points de rebroussement r 1 et r 2 sont indiqués
pour une valeur particulière (négative) de E.
Le mouvement d’un objet dans ce potentiel est dicté par la valeur de son énergie E. Si E 0 < E < 0,
alors il existe deux points r 1 et r 2 , déterminés par la condition U eff. (r 1,2 ) = E, pour lesquels l’énergie
cinétique radiale K r est nulle. Le mouvement radial de l’objet sera un oscillation limitée par ces
deux points, correspondant respectivement à l’aphélie et au périhélie de l’objet et appelés pour
cette raison points de rebroussement. La vitesse radiale ṙ de l’objet sera maximale à r 0 , car c’est
là que l’énergie cinétique radiale K r = E − U eff. est la plus grande. Dans le cas limite E = E 0 ,
l’énergie cinétique radiale est nulle et donc r est constant (r = r 0 ). L’orbite est donc circulaire
dans ce cas. Enfin, si E > 0, il n’y a qu’un seul point de rebroussement, correspondant à la
distance minimale d’approche de l’objet et celui-ci peut s’éloigner à l’infini. Notons que cette
analyse n’est pas spécifique au potentiel en 1/r, mais peut être appliquée à toute une classe de
potentiels centraux.