Document de cours de référence

6. Énergie et Travail 89
Problème 6.8
Considérez une planète sphérique, d’une densité ρ uniforme et de rayon R. Quel est le champ gravitationnel
à la surface de cette planète et comment varie-t-il en fonction de R? En supposant qu’un satellite artificiel en
orbite circulaire juste au-dessus de la surface ne soit pas gêné par une quelconque atmosphère, comment sa
période orbitale T dépend-elle de R?
Problème 6.9
Une masse m est attachée à un cadre par deux ressorts identiques
de constante k, tel qu’illustré. La longueur d’équilibre des ressorts
est l 0 , mais ils sont étirés à une longueur l > l 0 , de sorte que la
position d’équilibre de la masse est l’origine et qu’elle oscille autour
de l’origine lorsqu’on la déplace légèrement dans une direction
quelconque (le mouvement de cette oscillation est une figure compliquée
en général).
a) Montrez que l’énergie potentielle de cette particule, en fonction
de x et y, a l’expression suivante quand x et y sont petits devant l
et devant |l − l 0 |:
l
m
y
x
U(x, y) ≈ k(x 2 + ry 2 ) + cst. où r ≡ 1 − l 0
l
Indice : vous devez calculer l’énergie potentielle emmagasinée dans
chacun des ressorts, en calculant la longueur l(x, y) du ressort quand la particule est en position (x, y), par
rapport à la longueur d’équilibre l 0 . L’énergie potentielle emmagasinée dans ce ressort est alors 1 2 k[l(x, y)−l 0] 2 .
Vous devez ensuite utiliser un développement de Taylor au deuxième ordre.
b) À partir du résultat de (a), écrivez les équations différentielles du mouvement pour x et y. Quelle est leur
solution générale?
Problème 6.10
Un pendule élastique est fait d’une masse m suspendue à un ressort de constante
k. La longueur du ressort à l’équilibre et en l’absence de gravité est l. On place
l’origine (x, z) = (0, 0) au point de suspension du ressort. On peut aussi décrire
la position de la masse à l’aide des coordonnées (ρ, ϕ) (Attention : la relation
entre (ρ, ϕ) et (x, z) n’est pas la même que d’habitude!) La masse est aussi sous
l’influence de la gravité −gẑ.
a) Donnez une expression de l’énergie potentielle V (ρ, ϕ) de la masse, en fonction
de ρ et ϕ, en tenant compte de l’énergie élastique du ressort et de l’énergie potentielle
gravitationnelle.
b) À partir de V , calculez la force F s’exerçant sur la masse et exprimez votre
réponse en fonction des vecteurs unitaires ˆx et ẑ. Donnez une expression pour la
position d’équilibre ρ 0 du ressort.
c) Supposez maintenant que la masse ne s’éloigne pas beaucoup de sa position d’équilibre. Définissons la
coordonnée y = z + ρ 0 , nulle à la position d’équilibre. Montrez que l’énergie potentielle peut alors s’écrire
approximativement comme
V (x, y) = 1 2 m(α2 x 2 + β 2 y 2 ) + cst.
et donnez une expression pour les constantes α et β en fonction des paramètres m, g, k et l. Quelle limite
faut-il imposer aux paramètres pour retrouver le cas d’un pendule ordinaire (sans ressort)?
d) Toujours dans l’approximation des petits déplacements par rapport à l’équilibre, écrivez les équations du
mouvement pour x et y et donnez-en la solution générale, c’est-à-dire pour des conditions initiales quelconques.
Si α/β est un nombre irrationnel, à quoi ressemble l’ensemble des points visités par la masse après un temps
suffisamment long? Vous pouvez utiliser un ordinateur pour faire un graphique de la trajectoire, ce qui vous
aidera dans votre réflexion.
z
x
ρ 0
ϕ
ρ